Электрический ток. Закон Ома. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля-Ленца. О зонной теории

Вопрос №14:

Поскольку источниками поля Е являются все электрические заряды, теорема Гаусса запишется как

 (1)   . Тогда (1) можно преобразовать к виду        (2)

Величину, стоящую под знаком дивергенции обозначают D

 (3) и называют вектором электрической индукции Соотношение (2) выражает теорему Гаусса для поля вектора D. Наряду с дифференциальной формой (2) теореме можно придать, после соответствующих рассуждений, интегральный вид

 ,(4) где  – сторонние заряды, охватываемые поверхностью S.

Граничные условия. Граничные условия - это связь между полями в соседних диэлектриках.

Первое условие на границе найдется с помощью теоремы о циркуляции вектора E. Запишем теорему для малого замкнутого контура, охватывающего некоторый участок границы. Будем стягивать контур к отрезку, лежащему на границе. В пределе следует равенство тангенциальных составляющих электрического поля     .(6а)

Нормальная составляющая вектора E терпит разрыв, так как на границе двух диэлектриков образуется связанный поверхностный заряд. Если на этой поверхности нет сторонних зарядов, то непрерывна нормальная составляющая вектора D 

.(6б) Это (второе) условие непосредственно выводится из теоремы Гаусса для вектора D. Возьмем замкнутую поверхность в виде прямого цилиндра, охватывающего некоторый элемент поверхности раздела двух диэлектриков. Будем стягивать основания цилиндра к поверхности раздела. В пределе уравнение (4) переходит в соотношение (6б).

где E – напряженность электрического поля внутри полости.

Поле в однородном изотропном диэлектрике.

Пусть в вакууме имеется поле . Заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. В таком диэлектрике, вследствие его поляризации, появятся связанные заряды. Ранее была установлена связь между объемными сторонними и связанными зарядами  .

Аналогично можно установить, что в случае поверхностных зарядов.

Но если величина зарядов всюду уменьшилась в e раз, значит, и само поле E тоже стало всюду меньше поля  во столько же раз.Соответственно для векторов D и  будет выполняться равенство,т.е. поле вектора D в рассматриваемом случае не меняется.

Следствия. Поскольку напряженность поля, после заполнения пространства (занимаемого полем) однородным диэлектриком уменьшится в e раз, то и потенциал j также уменьшится в e раз

, где  – потенциал поля в отсутствии диэлектрика. Это же относится и к разности потенциалов (напряжению)  , где  – разность потенциалов (напряжение) в вакууме, без диэлектрика.

Например, после заполнения промежутка между обкладками конденсатора диэлектриком, разность потенциалов U между его обкладками уменьшится в e раз (при том же значении заряда q на обкладках). А раз так, то емкость конденсатора () при заполнении его диэлектриком увеличится в e раз

 , где  – емкость конденсатора без диэлектрика.

Вопрос №15:

Электрическим током называется любое упорядоченное (на микроскопическом уровне) движение электрических зарядов. Сила и плотность тока. При движении заряженных частиц происходит перенос электрического заряда через ту или иную поверхность. Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, т.е. заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность S в единицу времени       

Единицей силы тока является ампер (А).

Электрический ток может быть распределен по поверхности неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока  ,где r – объемная плотность заряда, u – скорость упорядоченного движения его носителя. Полный ток через поверхность S связан с плотностью тока интегралом   (1)

Уравнение непрерывности. Рассмотрим баланс электрического заряда в проводящей среде при протекании тока. Пусть внутри замкнутой поверхности находится заряд Q. Его изменение определяется током через поверхность (1) т.е.

                                 (2)

Это соотношение носит название (интегральной формы) уравнения непрерывности. Оно выражает закон сохранения электрического заряда.

Поверхностный интеграл в (2) можно преобразовать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса в объемный

,а производную выразить как  .

На этом основании из соотношения (2) с необходимостью следует .(3)

Это выражение является дифференциальной формой уравнения непрерывности.

Вопрос №16:

Закон Ома для однородного участка цепи. Если внутри проводника имеется электрическое поле, возникает ток. Из опыта следует, что для металлических проводников ток пропорционален электрическому полю. Эта пропорциональность характеризуется некоторой постоянной s, которая называется удельной проводимостью    .(5а)

Соотношение есть закон Ома в дифференциальной форме. Наряду с удельной проводимостью используется обратная ей величина , называемой удельным электрическим сопротивлением.

Рассмотрим протекание постоянного тока по тонкому длинному проводнику. Полный ток . Пусть сечение проводника постоянно по его длине, тогда j=const и поле E=const. Напряжение (разность потенциалов) на концах проводника равно U=El, где l – длина проводника. Подставляя полученные выражения в (5а), найдем

U=Rl ,(5б) где величина R=pl/S называется сопротивлением проводника. Соотношение (5б) выражает закон Ома в так называемой интегральной форме.

Пропорциональность тока от напряжения сохраняется и для проводников другой формы.

Закон Ома для неоднородного участка цепи. Cуществование постоянного тока предполагает наличие силового поля неэлектростатического происхождения. Это так называемые сторонние электродвижущие силы. Природа сторонних сил различна – она может быть механической или электрической силой. Важно, что работа этих сил по перемещению заряда по замкнутому пути отлична от нуля.

 .(6) Это уравнение обобщает закон (5а) для так называемых неоднородных участков цепи, на которых действуют сторонние силы. Оно выражает обобщенный закон Ома в дифференциальной форме.

Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда ток течет вдоль тонкого проводника. Разделим (6) на s, умножим скалярно на элемент оси провода dl, направленного от сечения 1 к сечению 2, и проинтегрируем по длине провода

 .(7)

Можно считать, что плотность тока j постоянна по сечению провода и направлена вдоль его оси. На этом основании  и первый интеграл в (7)  .
Второй интеграл в (7) есть разность потенциалов , последний представляет собой электродвижущую силу (ЭДС) e, действующую на данном участке цепи    .

После всех преобразований уравнение (7) приобретает вид

 . интегральная форма закона Ома                                        (8)
Если источник разомкнут, то  и , т.е. ЭДС источника можно определить, измерив разность потенциалов на его клеммах в разомкнутом состоянии.

Закон Ома для замкнутой цепи. Для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают, , и уравнение (8) принимает более простой вид  ,(9) где R представляет собой уже полное сопротивление замкнутой цепи, а  – алгебраическую сумму отдельных ЭДС в данной цепи.

Вопрос №17:

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Расчет разветвленных цепей (определение токов и напряжений на отдельных участках) осуществляется с помощью правил Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа выражает закон сохранения заряда для постоянных токов и относится к узлам цепи (точкам разветвления): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю .(10)

Токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, считаются величинами разных знаков.