Электрический ток. Закон Ома. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля-Ленца. О зонной теории, страница 2

Второе правило Кирхгофа выражает закон Ома для выделенного в разветвленной цепи замкнутого контура: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре .(11)

Правила Кирхгофа позволяют написать полную систему алгебраических уравнений, из которой могут быть найдены все неизвестные величины (токи, напряжения). Уравнений надо составлять столько, чтобы их число было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других. На практике используется два приема, облегчающих составление полной системы уравнений: метод узловых потенциалов и метод контурных токов.

Метод узловых потенциалов. За основу в этом методе берется первая группа уравнений (10). Пусть в разветвленной цепи имеется N узлов (). Неизвестными являются значения узловых потенциалов φi. Значение одного узлового потенциала условно принимается равным нулю φo=0, тогда количество неизвестных составляет N–1. Независимых уравнений (10) также равно N–1; уравнение для нулевого узла является следствием предыдущих. Выражение для тока в соответствующей ветви находится из .

Метод контурных токов. За основу в этом методе берется вторая группа уравнений (11). Для контуров выбирается положительное направление обхода (проще выбрать одно и тоже для всех контуров, например, по часовой стрелке) и вводятся искомые фиктивные контурные токи. Значение тока в ветви определяется алгебраическим сложением всех проходящих через нее контурных токов. Легко видеть, что при таком определении токов автоматически выполняется первое правило Кирхгофа (10). Если разветвленная цепь состоит из нескольких замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (11) можно составить только для тех контуров, которые не получаются в результате наложения уже рассмотренных. Проще рассматривать только простые контуры (которые не могут быть разбиты на составные). В этом случае гарантируется, что система уравнений для контурных токов будет полной.

Рассмотренные методы полностью эквивалентны и в конкретном случае предпочтительнее тот, который приводит к системе с меньшей размерностью.

Вопрос №18:

Закон Джоуля-Ленца. С прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников). Здесь возможны два случая – однородный и неоднородный участки цепи.

Однородный участок цепи. Найдем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 12 за время dt. Если между этими точками с разностью потенциалов U переносится заряд dQ, то совершается работа  dA=dQU .

Пусть по проводнику протекает ток I, тогда dQ=Idt и dA=UIdt

Следовательно, мощность, развиваемая током на этом участке равна   .(12а)

Согласно закону сохранения энергии эта работа должна идти на увеличение энергии. Если проводник неподвижен и в нем не происходят химические превращения, то работа переходит во внутреннюю (тепловую) энергию, в результате чего проводник нагревается. По закону Ома U=RI и поэтому

  -   эта формула выражает закон Джоуля-Ленца.

Получим локальную форму закона. Выделим в среде элементарный объем dV, в котором заключен заряд rdV, где r – плотность заряда. Если скорость носителей заряда u, то мощность сил электр-го поля с напряженностью E  . Разделив уравнение на dV, получим формулу для объемной плотности мощности  

  -  закон Джоуля-Ленца в локальной форме.

Неоднородный участок цепи. Если участок цепи содержит источник ЭДС, то выделяемое в проводнике тепло равно сумме работ электрических и сторонних сил (13)

Для замкнутой цепи (φ1=φ2) соотношение (13) переходит в уравнение ,т.е. общее количество выделяемой за единицу времени теплоты равно мощности только сторонних сил.

При наличии сторонних сил локальная форма закона Дж.-Ленца  ,где  –   напряж-ть поля сторонних сил.

Вопрос №19:

Переходные процессы в цепи с конденсатором. Переходными называют процессы при переходе от одного установившегося режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора.

Разрядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкости C замкнуть через сопротивление R, то через него потечет ток. Пусть I, q, U – мгновенные значения тока на сопротивлении, заряда положительной обкладки и напряжения на конденсаторе соответственно.

Согласно закону Ома для участка цепи, содержащего сопротивление R  .Учитывая, что  и , получаем

В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования находим    (14а),где  – начальный заряд конденсатора, а  – постоянная. Эта постоянная, называемая временем релаксации, есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в e раз.

Продифференцировав (14а), найдем закон изменения тока

 ,(14б)где  – сила тока в момент времени .

Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь изображенную на рис. Первоначально ключ разомкнут, и конденсатор не заряжен. В момент  ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор. Применим закон Ома к участку, содержащему сопротивление и ЭДС  .

Учитывая, что  и , получаем

 .      Разделение переменных дает .

Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия ( при ) дает  .

Здесь  – предельное значение заряда на конденсаторе (при ), .

Закон изменения тока со временем

 ,   где .

Вопрос №20:

В классической электронной теории металлов предполагается, что движение электронов подчиняется законам Ньютона. Далее, в этой теории пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие электронов с положительными ионами сводят только к соударениям.

Закон Ома. Будем предполагать, что время одного столкновения t между двумя последовательными соударениями одинаково для всех электронов. Если l – средняя длина пробега между столкновениями, а v – средняя тепловая скорость электрона, то по определению t=l/v. Далее будем считать, что при каждом соударении электрон передает решетке всю кинетическую энергию, приобретенную за время пробега. Смещение электронов за время t, в среднем равно  .