Электрический ток. Закон Ома. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля-Ленца. О зонной теории, страница 7

где интегрирование проводится по некоторой поверхности или по охватывающему эту поверхность контуру. Отсюда циркуляция вектора магнитной индукции  ,                                                                         (4)
где  – ток, протекающий через поверхность S. Положительное направление тока через поверхность и направление обхода контура связаны правилом правого винта.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции играет в магнитостатике такую же роль как теорема Гаусса в электростатике. Она позволяет при наличии определенной симметрии весьма просто находить B. В общем случае расчет поля B проводится по закону Био-Савара или эквивалентных ему уравнений.

Вопрос №31: Применение теоремы о циркуляции вектора B.

Магнитное поле прямого тока. Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом a. Требуется найти индукцию B снаружи и внутри провода.

Из симметрии задачи следует, что линии вектора B имеют вид окружностей с центром на оси провода и модуль B является функцией расстояния r до оси провода: . По теореме о циркуляции для контура в виде окружности , где I¢ – ток, охватываемый окружностью радиуса r. Отсюда следует, что вне провода  (5а)

Если окружность лежит внутри провода ток

Отсюда находим     (5б)

Если провод имеет вид трубки, то индукции снаружи определяется формулой (5а), а внутри – магнитное поле отсутствует B=0.

Магнитное поле соленоида. Пусть ток I течет по проводнику, намотанному на поверхность цилиндра. Такая конфигурация тока называется соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков провода и n достаточно большое, чтобы считать каждый виток замкнутым.

Из соображений симметрии следует, что линии вектора B параллельны оси соленоида. В случае бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует. В качестве замкнутого контура возьмем прямоугольник, расположенный как показано на рис. Циркуляция вектора B по данному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Отсюда, согласно теореме о циркуляции, следует, что внутри длинного соленоида  (6) т.е. поле внутри соленоида однородно. Произведение nI называют числом ампервитков.

Вопрос №32:

Магнитный диполь. Найдем поле ограниченной системы токов на расстояниях, больших по сравнению с размером системы (). Ограничимся рассмотрением линейного замкнутого тока. Проведем разложение вектор-потенциала, аналогично разложению скалярного потенциала электрического диполя. Малым параметром является здесь отношение . Поместим начало где-нибудь внутри витка и запишем

Поскольку , то достаточно ограничиться первым ненулевым членом разложения

 .
Первое слагаемое при интегрировании по замкнутому контуру обращается в ноль. Второе слагаемое приводится к виду

 (10)   векторная велич-на                            (11)
называется магнитным моментом. Например, магнитный момент плоского витка с током , где S – площадь витка, n – положительная нормаль к поверхности (эта нормаль связана с направлением тока правилом правого винта).

Магнитная индукция магнитного диполя определится как

 .

Взаимодействие диполя с магнитным полем. Взаимодействие любой системы токов с магнитным полем определяется силой Ампера, которую нужно проинтегрировать по всем токам

 (12) .(13)

Здесь F, M – соответственно сила и момент сил, действующие на магнитный диполь, а B – внешнее магнитное поле.

При вычислении момента сил достаточно ограничиться нулевым приближением, т.е. в пределах диполя положить . В результате преобразований выражения для момента сил можно получить  .     (14)
Эта формула показывает, что момент сил стремится повернуть магнитный диполь до совпадения с вектором B.

Расчет силы по формуле (12) довольно громоздок. Конечный результат вычислений выглядит как  (15)

причем при вычислении силы нужно считать .

Величину   можно трактовать как потенциальную энергию жесткого диполя в магнитном поле

Вопрос №33:

Вектор-потенциал. Так же как в электростатике можно упростить описание магнитного поля, введя его потенциал. Однако использование обычного скалярного потенциала () невозможно, так как магнитное поле непотенциально.

Для нахождения потенциала магнитного поля и его связи с вектором B запишем закон Био-Савара в развернутом виде

 .

Интегрирование ведется по координатам источников поля – токов (радиус-вектор ), координаты точек поля задаются радиус-вектором r. Используя равенство , в котором и дифференцирование проводится по координатам вектора r, преобразуем подъинтегральное выражение

 .

Поскольку дифференцирование проводится по координатам вектора r, оператор набла можно вынести из-под знака интеграла

 .

На основании данного соотношения вводится вектор-потенциал магнитного поля  (7) и устанавливается его связь с вектором магнитной индукции  .                                                                                 (8)

Магнитное поле может быть описано многими векторными потенциалами. Так, если векторный потенциал A описывает поле с индукцией B (т.е. ), то и другой потенциал вида

при произвольной функции c описывает то же самое поле B (т.е. ). Для доказательства возьмем ротор от вектора

 ,

поскольку .

Неоднозначность векторного потенциала аналогична неоднозначности скалярного потенциала. Можно показать, что векторный потенциал, определенный посредством (7), удовлетворяет уравнению   ,которое называется условием калибровки вектор-потенциала. Произвол в выборе векторного потенциала означает, что он имеет лишь вспомогательное значение и не может быть измерен экспериментально.

Применим к вектору-потенциалу оператор Лапласа. По аналогии с потенциалом (, ) можно сразу записать уравнение для вектор-потенциала  

Вопрос №28:

Сила Ампера. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить вектора E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей. В выражении для силы Лоренца выделим магнитную составляющую

 .(10)