Электрический ток. Закон Ома. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля-Ленца. О зонной теории, страница 6

Для определения релятивистской формы закона Кулона рассмотрим две инерциальные системы отсчета. Систему K₀, в которой задано распределение неподвижных зарядов r₀, и систему K, движущуюся относительно K₀ с некоторой постоянной скоростью. Как показывает опыт, сила, действующая на заряд q в системе K₀, независимо от его скорости определяется соотношением , где  – напряженность электростатического поля в K₀. Причем под силой понимается ее релятивистское определение ,

где m – масса покоя, . Независимость силы от скорости в системе неподвижных зарядов обусловлено отсутствием в природе магнитных зарядов. Известные частицы не обладают магнитным зарядом, а все попытки обнаружить частицу с магнитным зарядом, так называемый магнитный монополь, пока не увенчались успехом.

В системе K, как показывает специальная теория относительности, на заряд действует сила, которую можно представить в виде  (4) , где v – скорость заряда, а вектора E и B связаны с  определенными соотношениями (формулами преобразования). В свою очередь, для векторов E и B теория относительности определяет уравнения (5) (6) (7)  (8), где Гн/м – магнитная постоянная, r и j соответственно плотностью заряда и плотность тока в системе K. На этом частном примере видно, что переменное поле имеет более сложную структуру, чем электростатическое, и характеризуется в данном случае двумя векторами E и B. Вектор E называется напряженностью электрического поля, соответствующая компонента переменного поля – его электрической составляющей или электрическим полем. Вектор B называется индукцией магнитного поля, соответствующая компонента переменного поля – его магнитной составляющей или магнитным полем. Само поле в этой связи называется электромагнитным полем. Уравнение (4) называется силой Лоренца, уравнения (5)-(8) – уравнениями Максвелла.

В электродинамике принимается общий принцип суперпозиции: результирующая сила F, действующая на заряд, является суперпозицией сил , действующих на него по отдельности со стороны других зарядов  .

Принцип суперпозиции сил естественным образом приводит к принципу суперпозиции для электрического и магнитного полей

,   .                                                                                                 (9)

Вопрос №27:

Закон Био-Савара. Стационарное электромагнитное поле -производные по времени всех величин равны нулю. Основными уравнениями магнитостатики являются:  

                     (12)    (13)

Согласно уравнению (13) магнитное поле порождается движущимися зарядами. Из векторного анализа известно, что векторное поле A однозначно определяется своей дивергенцией  и своим ротором

 .
Отсюда магнитная индукция, с учетом (12) и (13), определяется соотношением ,

которое можно рассматривать как результат суперпозиции магнитного поля отдельных (объемных jdV) элементов тока

 (14а)

C помощью формулы перехода от объемных токов к линейным легко получить соответствующее выражение для поля линейного элемента тока Idl  (14б)

Формулы (14а) и (14б) выражают закон Био-Савара.

Полное поле B определится интегрированием по всем элементам тока  ,     .(15)

В случае постоянных токов закон Био-Савара (15) справедлив при любых скоростях заряженных частиц. Нарушение закона Био-Савара для переменных токов связано с запаздыванием поля вследствие конечной скорости его распространения. Для стационарных токов запаздывание, естественно, не проявляется.

Вопрос №29: Магнитное поле прямого и кругового тока. Расчет по формулам   индукции магнитного поля тока произвольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет определенную симметрию.

Магнитное поле прямого тока. Согласно   

в произвольной точке A вектора dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление – перпендендикулярное плоскости рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Для модуля dB   

Из построения видно, что  и . Поэтому

Интегрируя по a от –p/2 до p/2, находим   (16)

Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. показан вектор dB от выделенного элемента тока Idl. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и нетрудно видеть, что результирующий вектор B в точке A будет направлен вверх по оси Z. Поэтому, для нахождения модуля B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z. Каждая такая проекции имеет вид

 ,

где учтено, что угол между элементом dl и радиус-вектором r равен p/2. Интегрируя это выражение по всем dl (это дает 2pR) и, учитывая, что  и , получаем

 .(17)

Отсюда можно получить, что в центре витка с током (z=0) и на расстоянии  модуль вектора B равен

 ,       .

Вопрос №30: Основные законы магнитного поля. Магнитное поле обладает, как и электрическое, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства связаны с потоком и циркуляцией магнитного поля. Согласно уравнениям Максвелла стационарное электромагнитное поле, а именно, его магнитная компонента описывается уравнениями   , (1) ,(2)

которые носят названия дифференциальных форм теоремы Гаусса для вектора B (1) и теоремы о циркуляции вектора B (2).

С помощью теоремы Остроградского-Гаусса () теорема Гаусса для B (1) записывается в интегральной форме   .                                                                                                                   (3)
Равенство нулю потока вектора магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность означает, что линии вектора B не имеют ни начала, ни конца: они либо замкнуты, либо приходят из бесконечности и уходят в бесконечность (замыкаются на бесконечности). Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в том смысле, что в природе не существует магнитных зарядов.

С помощью теоремы Стокса теорема о циркуляции (2), в свою очередь, приводится к интегральному виду. Имеем

 ,