Формулировка критерия Гурвица.
Для устойчивости
ситемы необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительны:
для
при
.
Пример: Определить устойчивость системы.
.
Характеристическое
уравнение имеет вид: .
, т.к. всегда
Так как , то система будет
неустойчивой.
Рассмотрим в
общем виде систему I-го порядка. Характеристическое уравнение .
Согласно
критерию Гурвица для устойчивой системы I-го порядка необходимо и достаточно, чтобы и
,
т.е. коэффициенты характеристического уравнения были положительными.
Систама II-го
порядка имеет характеристическое уравнение вида: .
, т.е. необходимо и достаточно, чтобы
. Следовательно, для устойчивой системы
II-го порядка необходимым и достаточным условием являются положительные
коэффициенты характеристического уравнения.
.
Система III-го
порядка имеет характеристическое уравнение: .
.
Тогда . Из того, что
следует,
что
.
Значит для
устойчивой системы III-го порядка необходимо и достаточно, чтобы
коэффициенты характеристического уравнения были положительны и .
Пример 1: Определить устойчивость системы.
.
Характеристическое
уравнение: .
1. для
.
2. .
Пример 2: Определить устойчивость системы.
|
|
||||||||
|
|
||||||||
.
Характеристическое
уравнение: .
Вывод. Критерий устойчивости Гурвица не применим для систем с запаздыванием.
Критерий устойчивости Михайлова
Пусть
характеристическое уравнение системы имеет вид: .
Выполнив
подстановку получим функцию Михайлова:
Формулировка критерия Михайлова.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты w от 0 до ¥ годограф Михайлова обходил последовательно n квандрантов комплексной плоскости, начиная с первого, и нигде не обращаяся в нуль.
Альтернативная формулировка критерия Михайлова.
Для устойчивости
системы необходимо и достаточно, чтобы корни вещественной и мнимой
составляющей функции михайлова и
были вещественными
и перемежаемыми.
Перемежаемость
корней означает ситуацию, когда с ростом корней по величине должны поочередно принадлежать
уравнениям
и
.
|
|
|
|
|
|
|
|
<
<
<
<
<
.
Пример 1: Определить соотношение параметров системы,
при которой она будет устойчивой, если: .
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
![]() |
.
Значит, для
установившейся системы необходимо: , т.е.
или
, или
,
или
.
Подставляя параметры, получим:
Пример 2: Определить устойчивость системы.
|
|
||||||||
|
|
||||||||
.
.
Устойчивость
системы можно определить, построив годограф Михайлова, либо анализируя корни
уравнений и
в
соответствии с альтернативной формой критерия устойчивости Михайлова.
Критерий устойчивости Найквиста
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.