Уравнения автоматических систем. Описание систем в пространстве состояний. Динамические характеристики автоматических систем, страница 10

Пусть разомкнутая система с передаточной функцией  будет устойчива или нейтральна. Разомкнем систему и подадим на ее вход гармонические колебания: . На выходе системы установятся колебания вида: .

Для устойчивости вистемы важго исследовать случай, когда сигналы  и совпадают по фазе, то есть  имеет сдвиг по фазе относительно , равный .

Пусть на частоте фазо-частотная характеристика разомкнутой системы .

1. Если амплитудо-частотная характеристика разомкнутой системы , то в случае замыкания разомкнутой системы колебания при прохождении через  и  увеличаться по амплитуде, так как  . Со следующим циклом прохождения сигнала амплитуда увеличивается еще больше, то есть замкнутая система будет неустойчива.

2. Если , тогда при замыкании разомкнутой системы колебания от цикла к циклу будут уменьшаться по амплитуде, то есть замкнутая система будет устойчивой.

3. , тогда при замыкании разомкнутой системы в замкнутой системе установятся незатухающие колебания, то есть система будет находиться на границе устойчивости.

Частная формулировка критерия устойчивости Найквиста.

Если разомкнутая система является нейтральной или устойчивой, то в замкнутом состоянии она будет устойчивой, если АФХ разомкнутой системы  не охватывает точку .

Общая формулировка критерия Найквиста.

Если разомкнутая система является неустойчивой, то в замкнутом состоянии она будет устойчивой, если АФХ разомкнутой системы  охватывает точку  под углом , где  - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости.

Кривая 1 – АСР устойчива;

Кривая 2 – АСР на границе устойчивости;

Кривая 3 – АСР неустойчива.

Пример.

Рис. (а).

Разомкнутая система неустойчива, имеет два корня в отрицательной полуплоскости,  охватывает точку (-1,0) под углом 2p, значит замкнутая система будет устойчива.

Рис. (б), (в), (г).

Замкнутая автоматическая система регулирования устойчива, разомкнутая система – также.

Рис. (д). Замкнутая АСР неустойчива, разомкнутая АСР устойчива.

Формулировка критерия устойчивости Цыпкина.

Если разомкнутая система является неустойчивой, то в замкнутом состоянии она будет устойчивой, если число положительных переходов АФХ разомкнутой системы больше, чем число отрицательных переходов на k/2 при изменении  от 0 до , где k- число положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы .

Под положительным переходом понимается пересечение АФХ разомкнутой системы отрезка  сверху вниз.

Пример 1.

Определить значение коэффициента передачи k , при котором система выходит на границы устойчивости.

Пример 2.

Определить устойчивость системы.

Замкнутая АСР структурно неустойчива. Необходимо определить, устойчива ли разомкнутая система.

Пример 3.

Определить значение коэффициентов передачи герулятора , при котором система выходит на границы устойчивости.

Влияние запаздывания на устойчивость

Обычно АФХ разомкнутой системы представляет собой спираль, навивающуюся на начало координат. Пусть передаточная функция разомкнутой системы содердит звено запаздывания , где  - передаточная функция предельной системы, которая не содержит звеньев запаздывания.

Предположим, что АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1;0). Звено запаздывания не изменит амплитудо-частотную характеристику разомкнутой системы, так как , а . Амплитудо-частотная характеристика разомкнутой системы: .

Следовательно, для получения АФХ разомкнутой системы  необходимо АФХ предельной системы повернуть на угол , то есть каждую точку АФХ предельной системы  повернуть на угол , где  -частота соответствующая точкам АФХ .

Очевидно, что полученная с учетом запаздывания АФХ разомкнутой системы  будет расширяться и может охватить точку (-1;0), что приведет к неустойчивости замкнутой системы в соответствии с критерием Найквиста.