Уравнения автоматических систем. Описание систем в пространстве состояний. Динамические характеристики автоматических систем, страница 4

Переходной характеристикой называется реакция системы на единичное скачкообразное возмущение при нулевых начальных условиях. Переходная характеристика обозначается как h(t). Единичная скачкообразная функция . Переходная характеристика образует переходный процесс в системе.

Переходную характеристику можно получить как решение дифференциального уравнения, описывающего систему при x(t)=1 либо, учитывая определение передаточной функции:

Зная аналитический вид переходной характеристики и входного возмущающего воздействия можно определить реакцию системы, т.е. переходный процесс, на входное воздействие любого вида по формуле Дюамеля: .

Кривой разгона называется реакция системы y(t) на входное воздействие произвольной величины.

Свойства переходной характеристики:

1.  Начальное значение переходной характеристики равно конечному значению передаточной функции:

.

Пример. Пусть . Тогда .

2.  Конечное значение переходной характеристики равно начальному значению передаточной функции:

Пример. Для  и  получим:  .

Импульсная характеристика.

Импульсной характеристикой называется реакция системы на единичное импульсное возмущение при нулевых начальных условиях.

Импульсная характеристика обозначается: V(t), ее также называют функцией веса или весовой функцией.

Единичное импульсное возмущение

Функция  называется дельта-функцией Дирака. Она обладает свойствами: . Последнее свойство легко проиллюстрировать графически: . Т.е. - это такая функция, площадь под которой равна единице.

Импульсную характеристику можно получить из определения передаточной функции: , Учитывая, что , тогда , где . Тогда  .

Импульсные характеристики применяются, когда по технологическим соображениям недопустимы большие отклонения регулируемой величины объекта управления.

Частотные характеристики.

Частотные характеристики – это реакция системы на входное воздействие в виде колебаний гармонической формы.

Пусть на вход системы подается сигнал гармонической формы:

, где  - амплитуда входных колебаний, w - круговая частота, рад/с, , где Т – период входных колебаний.

Со временем на выходе системы установятся также колебания гармонической формы, y(t), причем для линейных систем, которые описываются линейным дифференциальным уравнением частота колебаний w не измениться. На выходе системы установятся колебания вида:

, где - амплитуда выходных колебаний, j - угол сдвига по фазе выходных колебаний относительно входных, , рад.

Амплитуда выходных колебаний  зависит от частоты w:

Сдвиг фаз j также зависит от частоты.

Для инерционных объектов управления происходит сдвиг фаз в сторону отставания, т.е.  в данном случае будет иметь отрицательный знак.

Амплитудо-частотной характеристикой (АЧХ)  называется зависимость отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного от частоты.

.

Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость сдвига фазы выходных колебаний системы по отношению к входным от частоты. ФЧХ обозначается: .

Пусть входной гармонический сигнал представлен в комплексном виде:

, тогда выходной сигнал будет .

Амплитудо-фазовой характеристикой (АФХ) называется отношение выходного сигнала ко входному в комплексном виде:

.

Очевидно, что модуль АФХ представляет собой АЧХ , а аргумент АФХ является ФЧХ системы .

Обычно график АФХ имеет вид спирали, навивающейся на начало координат.

Сформулируем алгоритм экспериментального получения частотных характеристик:

1.  На вход системы необходимо подать сигнал гармонической формы: .

2.  Дождаться установления колебаний на выходе системы, т.е. колебаний посточянной формы.

3.  Определить амплитуду выходных колебаний  и точку АЧХ, соответствующую частоте w: .