где - вектор переменных состояния;
- вектор управляющих воздействий; А
и В – матрицы коэффициентов.
,
,
,
,
.
Уравнение (2)
описывает только лишь динамику системы. Для того, чтобы получить значение
выходных параметров системы необходимо найти значение вектора выходов . В матричной форме записи:
, где C
и D - матрицы,
. Таким образом в пространстве
состояний описание системы имеет вид:
Рассмотрим пример перехода от описания системы линейных дифференциальных уравнений к описанию системы в пространстве состояний.
Пусть система описывается
дифференциальным уравнением: . Обозначим
переменные состояния:
,
,
. Тогда :
или
Так как система имеет один выход, то уравнение (3) будет иметь вид:
.
Достоинства описания систем в пространстве состояний:
1. Универсальное описание различных систем.
2. Возможность универсального решения задач многомерными системами, содержащими несколько входов и выходов.
Недостатки:
1. Недостаточная наглядность описания.
2. Проблемы вычислительного характера.
Преобразование Лапласса.
В ТАУ широко
применяются методы операционного исчисления, в основе которых лежит
преобразование Лапласса. Оно преобразует функцию вещественной переменной в функцию комплексной переменной F(p)
по формуле:
. Функция f(t) называется оригиналом, F(p) – изображением
по Лаплассу. Обозначают:
и
,
где L – орератор Лапласса.
Применение преобразования Лапласса облегчает решение дифференциального уравнения динамики, так как при этом дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими уравнениями относительно р.
Основные свойства преобразования Лапласса:
1. Свойство линейности.
.
Пример.
. Тогда
,
где Y(p) – изображение функции
y(t),
- изображения функциий
.
2. Дифференцирование оригинала.
.
Пример.
.
Преобразуя по
Лаплассу, получим: .
3. Интегрирование орогинала.
.
Пример.
, тогда
.
4. Теорема запаздывания.
, где t - положительное число.
Проиллюстрируем
функцию запаздывания графически. При функция
.
Пример.
, тогда
.
Пример.
, тогда
.
Таблица оригиналов и изображений
№ |
Оригинал f(t) |
График f(t) |
Изображение |
|||||||
1 |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
||||||||
4 |
|
![]() ![]() |
||||||||
5 |
|
![]() ![]() |
||||||||
6 |
|
![]()
![]() ![]() |
|
|||||||
7 |
|
![]()
![]() ![]() |
||||||||
8 |
|
![]() |
||||||||
9 |
|
![]() ![]() ![]() ![]()
|
||||||||
10 |
|
![]() |
||||||||
11 |
|
|
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.