Уравнения автоматических систем. Описание систем в пространстве состояний. Динамические характеристики автоматических систем, страница 6

Переходная характеристика.

Характеристическое уравнение имеет вид: , полюс которого . Решение дифференциального уравнения имеет вид: , учитывая, что , получим . Тогда .

Определим величину проекции касательной к  в момент времени  на ось t:

.

Проекция на ось t будет: .

Импульсная характеристика: .

АФХ: , т.к.

АЧХ: ,

ФЧХ: .

 

Вывод.

По АЧХ видно, что при увеличенни частоты w входного сигнала уменьшается амплитуда сигнала на выходе звена. Таким образом звено уменьшает амплитуду высокочастотных сигналов. Говорят, что происходит демпфирование – сглаживание сигналов по амплитуде.

По ФЧХ видно, что выходной сигнал сдвигается по фазе в сторону отставания от входного сигнала, т.к. .

Д/З. Построить АФХ звена с передаточной функцией вида:

1. ; 2. ; 3. .

Сделать вывод о влиянии постоянной времени звена на вид АФХ.

Пример. Определить параметры звена с передаточной функцией: .

.

Апериодическое звено II-го порядка.

Апериодическим звеном II-го порядка называется такое звено, динамика которого описывается дифференциальным уравнением:

, вслучае, когда

.

Здесь  - постоянные времени, k- коэффициент передачи звена.

Передаточная функция: .

Учитывая, что  , то передаточную функцию (2) можно представить в виде:

В передаточной функции (3) ограничения на  не накладываются, т.е. передаточная функция (3) включает в себя условие (1).

Переходная характеристика. Найдем переходную характеристику с помощью преобразований Лапласса:

.

Где  - абсцисса точки перегиба графика h(t), т.е.

 

Импульсная характеристика:

.

АФХ:

АЧХ: .

ФЧХ: .

Консервативное звено.

Консервативным звеном называется такое динамическое звено, свойства которого описывается дифференциальным уравнением:

   ,

где k – коэффициент передачи, Т -  постоянная времени.

Передаточная функция: .

Переходная характеристика. Найдем переходную характеристику с помощью преобразований Лапласса:

.

Импульсная характеристика:

.

АФХ:

АЧХ: .

ФЧХ: , где Т – постоянная времени звена.

Вывод. При частоте входных колебаний  за счет явления резонанса амплитуда выходных колебаний будет неограничено возрастать, что видно из графика АФХ .

Колебательное  звено.

Колебательным звеном называется такое динамическое звено, свойства которого описываются дифференциальным уравнением:

   , когда  где  , –  постоянные времени, k - коэффициент передачи.

Передаточная функция: .

Рассмотрим варианты отношения .

1. Пусть . Характеристическое уравнение будет иметь вид: , тогда

, причем .

Тогда решение дифференциального ураавнения будет иметь вид:

Из начального условия  найдем:

Тогда переходная характеристика имеет вид: .

Очевидно, что  можно найти с помощью преобразований Лапласса.

Импульсную характеристику можно найти так: .

2. Пусть . Тогда дискриминант характеристического уравнения . . Решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

.

Из начальных условий  найдем .

Тогда переходная характеристика: . Аналогично можно найти  используя преобразование Лапласа.

3. Пусть . Тогда колебательное звено выглядит как апериодическое звено II- го порядка.

4. Пусть , т.е. . Тогда колебательное звено выглядит как апериодическое звено I- го порядка.

5. Пусть , т.е. . Тогда колебательное звено вырождается в консервативное звено.

АФХ:

АЧХ:

ФЧХ: .

Вывод: при частоте входных колебаний  будет наблюдаться резонансное увеличение амплитуды выходных колебаний.

Интегрирующее звено.

Интегрирующим звеном называется такое динамическое звено, свойства которого описываются уравнением:

   , или , где Т -  постоянная времени интегрирования, [с].