Уравнения автоматических систем. Описание систем в пространстве состояний. Динамические характеристики автоматических систем, страница 11

Итак, увеличение запаздывания в системе негативно влияет на ее устойчивость, вплоть до выхода системы на границу устойчивости и перехода в неустойчивое состояние. При пректических расчетах выход системы на границы устойчивости можно определить следующим образом.

1. Необходимо провести окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Определить точку пересечения этой окружности с АФХ предельной системы  и найти соответствующую ей частоту .

2. Определить угол  между отрицательной вещественной полуосью и прямой и прямой, проходящей через начало координат и точку, соответствующую  .

3. При выполнении равенства , где  - величина запаздывания. Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, так как АФХ разомкнутой системы будет проходить через точку (-1;0).

4. Если , то замкнутая система будет устойчивой, если же , то система в замкнутом состоянии будет неустойчивой, так как АФХ разомкнутой системы будет охватывать точку (-1;0).

Аналитически выход системы можно записать так:

 

Примечание.

Запаздывание сдвигает выходной сигнал в сторону отставания по фазе относительно входного сигнала, так как при последовательном соединении звеньев, результирующая ФЧХ соединения: , где  - ФЧХ звена запаздывания. Такой сдвиг по фазе в сторону отставания отрицательно влияет на устойчивость системы, следовательно любые элементы АСР, которые сдвигают выходной сигнал в сторону отставания по фазе будут негативно влиять на устойчивость системы.

Выделение областей устойчивости

Рассмотрим метод  D-разбиения по одному параметру для выделения облатей этого параметра, при котором система будет устойчива. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид: .

Предположим, что исследуемый параметр , входит в характеристическое уравнение, тогда оно имеет вид: . Отсюда можно выразить параметр : . Сделав замену , получим: . Полученная кривая называется кривой D-разбиения, она представляет собой границу перехода левых корней характеристического уравнения в правые и наоборот. Кривая D-разбиения делит всю комплексную плоскость на несколько областей. Для того, чтобы определить области устойчивости, необходимо вдоль кривой D-разбиения нанести с левой стороны штриховку при возрастании частоты  от  до . Область устойчивости можно определить как область с максимальным числом штриховок или же, проверив устойчивость системы для точки внутри этой области.

Пример 1.

Определить область устойчивости кривой D-разбиения, следующего вида:

Нанесем штриховку по левую сторону кривой D-разбиения для частоты  от  до . Очевидно, что для четырех областей, на которые делится комплексная плоскость, областью устойчивости будет область 4. Следовательно, для установившейся системы параметр R должен находиться в области 4.

Пример 2.

Определить область значений коэффициента передачи регулятора , при котором замкнутая система будет устойчива.

. Из характеристического уравнения выразим  и сделаем замену .

.

Очевидно, областью устойчивости будет область 3.

Точкам А, В будет соответствовать частота .

, следовательно

.

Так как коэффициент передачи  представляет вещественное положительное число, то областью устойчивости системы будет отрезок ОВ, , т.е.

Пример 3.

Определить область параметров регулятора, при которых система будет устойчивой.

 

.

Характеристическое уравнение: . Выделим параметры  и , разделив уравнение на .

. Подставляем :

Выразим  и  через w, приравняв к нулю .

.

Так как , то и . В точке ,  .

Система устойчива, следовательно область устойчивости системы будет следующей:

Пример 4.

Определить область устойчивости системы для коэффициета передачи регулятора .

 

Система будет устойчивой для