Итак, увеличение запаздывания в системе негативно влияет на ее устойчивость, вплоть до выхода системы на границу устойчивости и перехода в неустойчивое состояние. При пректических расчетах выход системы на границы устойчивости можно определить следующим образом.
1. Необходимо провести окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Определить точку пересечения этой окружности с АФХ предельной системы и найти соответствующую ей частоту .
2. Определить угол между отрицательной вещественной полуосью и прямой и прямой, проходящей через начало координат и точку, соответствующую .
3. При выполнении равенства , где - величина запаздывания. Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, так как АФХ разомкнутой системы будет проходить через точку (-1;0).
4. Если , то замкнутая система будет устойчивой, если же , то система в замкнутом состоянии будет неустойчивой, так как АФХ разомкнутой системы будет охватывать точку (-1;0).
Аналитически выход системы можно записать так:
Примечание.
Запаздывание сдвигает выходной сигнал в сторону отставания по фазе относительно входного сигнала, так как при последовательном соединении звеньев, результирующая ФЧХ соединения: , где - ФЧХ звена запаздывания. Такой сдвиг по фазе в сторону отставания отрицательно влияет на устойчивость системы, следовательно любые элементы АСР, которые сдвигают выходной сигнал в сторону отставания по фазе будут негативно влиять на устойчивость системы.
Выделение областей устойчивости
Рассмотрим метод D-разбиения по одному параметру для выделения облатей этого параметра, при котором система будет устойчива. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид: .
Предположим, что исследуемый параметр , входит в характеристическое уравнение, тогда оно имеет вид: . Отсюда можно выразить параметр : . Сделав замену , получим: . Полученная кривая называется кривой D-разбиения, она представляет собой границу перехода левых корней характеристического уравнения в правые и наоборот. Кривая D-разбиения делит всю комплексную плоскость на несколько областей. Для того, чтобы определить области устойчивости, необходимо вдоль кривой D-разбиения нанести с левой стороны штриховку при возрастании частоты от до . Область устойчивости можно определить как область с максимальным числом штриховок или же, проверив устойчивость системы для точки внутри этой области.
Пример 1.
Определить область устойчивости кривой D-разбиения, следующего вида:
Нанесем штриховку по левую сторону кривой D-разбиения для частоты от до . Очевидно, что для четырех областей, на которые делится комплексная плоскость, областью устойчивости будет область 4. Следовательно, для установившейся системы параметр R должен находиться в области 4.
Пример 2.
Определить область значений коэффициента передачи регулятора , при котором замкнутая система будет устойчива.
. Из характеристического уравнения выразим и сделаем замену .
.
Очевидно, областью устойчивости будет область 3.
Точкам А, В будет соответствовать частота .
, следовательно
.
Так как коэффициент передачи представляет вещественное положительное число, то областью устойчивости системы будет отрезок ОВ, , т.е.
Пример 3.
Определить область параметров регулятора, при которых система будет устойчивой.
.
Характеристическое уравнение: . Выделим параметры и , разделив уравнение на .
. Подставляем :
Выразим и через w, приравняв к нулю .
.
Так как , то и . В точке , .
Система устойчива, следовательно область устойчивости системы будет следующей:
Пример 4.
Определить область устойчивости системы для коэффициета передачи регулятора .
Система будет устойчивой для
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.