Основные законы движения жидкости и газа, страница 8

Поперечная же координата у изменяется от 0 до d, следовательно, ее безразмерное значение у¢ порядка d¢, но

в силу принятого допущения о малости толщины слоя по сравнению с характерным размером тела.

Произведем оценку членов сначала в уравнении неразрывности (1.23). Поскольку величина  имеет порядок единицы, из уравнения (1.23) следует, что такой же порядок имеет и величина . Но так как  порядка , то и поперечная скорость  имеет порядок :

~   или   , т.е. V << U₀.                        (1.24)

Отсюда получаем важный вывод, что в пограничном слое поперечная составляющая скорости мала по сравнению с продольной.

Подпишем теперь в уравнениях (1.21) и (1.22) под соответствующими членами оценку порядка их величин.  В уравнении (1.21)

;

 ~ 1;     ~  .

Для того чтобы определить порядок величины , вспомним, что вне пограничного слоя справедливо уравнение Бернулли, следующее из уравнения (1.21) при  m = 0:

.                                   (1.25)

1    1/1

Из этого уравнения видно, что градиент давления  ~ 1. Оценим члены уравнения (1.21), стоящие в скобках:

 ~ 1;     ~ .

Так как  , то величину  можно отбросить как малую по сравнению с . Это очень важное обстоятельство, поскольку, отбросив вторую производную по одной переменной, мы изменяем характер дифференциального уравнения в частных производных. Теперь мы видим, что оставшиеся в правой части силы вязкости будут одного порядка с силами инерции (левая часть) при очень больших числах Re. Оставшийся член в скобках (1/Re)×  будут иметь один порядок с инерционными членами, т.е. порядок единицы, при условии

~ .                                       (1.26)

Условие (1.26) выполняется, когда число Рейнольдса велико. Таким образом, решения уравнений пограничного слоя представляют собой по существу асимптотические решения для очень больших чисел Рейнольдса. Отметим, что для таких решений из условий (1.26) можно найти порядок толщины динамического пограничного слоя:

.                                         (1.27)

С учетом (1.24)

.

Перейдем к рассмотрению второго уравнения движения (1.22) по направлению у. Порядок величин левой части не требует разъяснения. Порядок градиента давления  пока не известен. В скобках в правой части можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым. Все его оставшиеся члены имеют порядок , в то время как все остальные после упрощения члены левой части уравнения (1.21) имеют порядок 1. Поэтому второе уравнение значительно упрощается и из него следует, что ~. Учитывая, что << 1, можно принять

      или                   ,                             (1.28)

т.е. давление в жидкости поперек пограничного слоя остается постоянным и равным давлению на внешней границе пограничного слоя, которое определяется здесь течением без трения.

Итак, в результате упрощения системы уравнений Навье – Стокса (1.18)…(1.20) можно записать:

;                              (1.29)

;                                            (1.30)

.                                                  (1.31)

Видно, что первое уравнение существенно упростилось, и теперь мы имеем систему из двух уравнений, а не из трех.

Впервые система уравнений пограничного слоя (1.29)…(1.31) была решена Блазиусом для продольного обтекания пластины при dp/dx = 0. Он нашел распределение скорости поперек пограничного слоя и касательные напряжения на стенке. Однако даже для этого простого случая решение оказывается сложным и громоздким. Мы его рассмотрим несколько позже.

Все сделанные нами выводы справедливы и в случае течения газа с тепломассообменом. Однако при этом к системе уравнений движения (1.29) и (1.31) должны быть добавлены уравнения энергии и диффузии пограничного слоя. Произведя аналогичные операции по оценке членов, получим

;                      (1.32)

.                              (1.33)

В правой части отброшены вторые производные по продольной координате:

.