Основные законы движения жидкости и газа, страница 6

Перейдем к рассмотрению предельного случая течения жидкости очень малой вязкости, или в более общем виде случая очень больших чисел Re. Значительные успехи в исследовании движений жидкости при больших числах Re были достигнуты в 1904 г., когда Прандтль показал, как проявляет себя вязкость в этих условиях и как можно упростить дифференциальные уравнения Навье – Стокса, чтобы стало возможным получить их решения.

Прандтль установил, что при течении с большими значениями  Re (малые вязкости) весь поток условно может быть разбит на две области.

1. Очень тонкий слой, непосредственно прилегающий к обтекаемому телу, где силы вязкости оказывают существенное влияние на течение, – пограничный слой.

2. Область, где влиянием вязкости можно пренебречь. Она занимает все остальное течение вне пограничного слоя и часто называется «внешним потоком».

В пограничном слое, благодаря его сравнительно малой толщине, уравнения движения могут быть упрощены и легче поддаются решению, чем общие уравнения Навье – Стокса. Во внешнем потоке жидкость можно считать невязкой и ее течение рассчитывать как потенциальное. Как правило, пограничный слой тем тоньше, чем меньше вязкость или чем больше значение Re.

Мы ограничиваемся рассмотрением двумерных течений. В этом случае все величины зависят от двух координат х и у.

Основное допущение теории пограничного слоя состоит в том, что жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности тела, считается неподвижной относительно тела – имеет место «прилипание» жидкости. Это допущение справедливо во всех случаях, за исключением течений сильно разреженных газов. Степень разреженности характеризуется отношением длины свободного пробега молекул < l > к характерной длине тела L,  которое называется числом Кнудсена, Кn = < l >/L. При числе Кнудсена Кn < 0,001 течение газа можно рассматривать как сплошную среду.

В силу вязкости жидкости тормозящее воздействие стенки на поток сказывается и на некотором расстоянии от стенки. Таким образом, динамический пограничный слой можно определить как область, в пределах которой скорость жидкости изменяется от нуля на поверхности до скорости внешнего потенциального течения. Правда, такое определение никакой точной толщины пограничного слоя не дает. Толщиной пограничного слоя  d условно называют расстояние от стенки, на котором скорость  Uсоставляет  99 % от скорости  набегающего потока, т.е. w = U/U₀ = 0,99 (cм. рис. 1.1).

Для случая течения с теплообменом  вводится понятие теплового, или температурного слоя  d_т . Тепловым пограничным слоем называется примыкающая к поверхности область течения, в которой происходит изменение температуры жидкости от ее значения на стенке  Т_ст  до  температуры внешнего потока Т₀. При этом температура стенки и температура жидкости у стенки принимаются равными (Т_ж)_ст  = Т_ст. Толщины динамического и теплового пограничных слоев в общем случае могут и не совпадать друг с другом. Их отношение зависит от значения числа Прандтля  Pr = n/a  , т.е.  от соотношения вязкости и температуропроводности: d/d_т = f(Pr).

При наличии диффузии вводится понятие диффузионного пограничного слоя, в котором концентрация примеси изменяется от значения, соответствующего концентрации на стенке, до ее значения в невозмущенном потоке. Соотношение толщин диффузионного и динамического слоев зависит от числа Шмидта, Sc = n/D, т.е. определяется отношением вязкости и коэффициента диффузии.

Поскольку для газов значения чисел Pr  и  Sc близки к единице, толщины динамического, теплового и диффузионного слоев близки между собой.

Следует заметить, что методами теории пограничного слоя можно пользоваться не только в случаях внешнего обтекания твердых тел, которые рассматривались на заре возникновения теории и послужили причиной возникновения терминов  «внешний поток» и «пограничный слой». Течение жидкости в каналах также представляет собой одну из задач теории пограничного слоя.