Основные законы движения жидкости и газа, страница 3

Вещество (жидкость или газ)	t, oC	r, кг/м3	m×103, Н×с/м2	n×106, м2/с	l, Вт/(м× оС)	а×107, м2/с	ср×10-3, Дж/(кг× оС)	Pr
Вода	0 20 100	1002,28 1000,52 960,63	1,78 1,01 0,31	1,788 1,006 0,31	0,552 0,597 0,680	1,31 1,43 1,68	4,22 4,18 4,18	13,7 7,03 1,75
Воздух	0 20 100	1,29 1,21 0,94	0,017 0,018 0,002	13,0 14,9 21,8	0,022 0,026 0,030	169,69 210,60 315,98	1,005 1,006 1,010	0,76 0,71 0,69
Ртуть	0 20 100	13628,2 13579,0 13384,6	1,69 1,55 1,24	0,124 0,114 0,093	8,20 8,69 10,51	42,99 46,06 57,16	0,140 0,139 0,137	0,029 0,024 0,016
Масло моторное	0 20 100	899,12 888,23 840,01	3848 799,4 17,1	4280 900 20,3	0,147 0,145 0,137	0,911 0,872 0,738	1,796 1,88 2,219	46980 10400 276
Фреон ССl2F2	-20 20 50	1460,57 1330,18 1215,96	0,345 0,263 0,231	0,235 0,198 0,190	0,071 0,073 0,067	0,539 0,557 0,545	0,907 0,935 1,022	4,4 3,5 3,5

1.2.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ,

        ЭНЕРГИИ И ДИФФУЗИИ

Вывод дифференциальных уравнений движения, энергии и диффузии достаточно громоздок. Он приводится в курсах аэродинамики и теплопередачи (см., например, [1,2]). Поэтому мы выпишем эти уравнения в готовом виде и поясним лишь основные принципы их получения.

При выводе дифференциальных уравнений движения жидкости (уравнений Навье – Стокса) используется основной закон механического движения S F = ma – второй закон Ньютона.

Общее уравнение движения единицы объема вязкой жидкости с постоянными физическими свойствами (r = const; m = const) можно независмо от системы координат представить в векторной форме (жирным шрифтом обозначены векторные величины):

.                         (1.9)

Здесь слева – произведение массы единичного объема r на ускорение DV/Dt (V – вектор скорости), справа – сумма всех внешних сил, вызываемых градиентом давления Ñр, силами вязкости mѲV и F – массовыми силами (силой тяжести или силами других полей). Эти величины измеряются в ньютонах на метр кубический (Н/м³), поскольку уравнение (1.9) записано для единицы объема.

В левой части уравнения DV/Dt – полная, или субстанциальная, производная от скорости, равная сумме локальной составляющей ¶V/¶t, учитывающей нестационарный характер течения, и конвективной (переносной) составляющей. Например, для двумерного течения полная производная от продольной составляющей скорости U = f(t, x, y) имеет вид

,        (1.10)

так как ¶х/¶t = U, ¶y/¶t = V.

Для наглядности будем рассматривать двумерное стационарное движение несжимаемого газа с постоянными физическими свойствами. Для этих условий из (1.9) и (1.10) следуют два уравнения для направлений х и у:

––––––––––––––––––––––

^*   В  уравнении  мы  ввели  некоторые математические сокращения, часто используемые в гидромеханике: Ñ – (набла) – оператор Гамильтона. Его выражение в декартовых координатах имеет вид

.

Если после оператора стоит скалярная величина, то он обозначает вектор с проекциями  на  оси координат  ¶/¶x, ¶/¶y, ¶/¶z  и  называется градиентом. Например,

Ñр = (¶р/¶x) i + (¶р/¶y) j + (¶р/¶z) k  =  grad p.  Здесь  р – скалярная  величина.

Если  под знаком  Ñ  будет  стоять векторная  величина, например скорость V , то она представляет собой скаляр ÑV = div V = .