Основные законы движения жидкости и газа, страница 4

Ѳ = Ñ называется оператором  Лапласа. Если он относится к скалярной величине  р, то Ñр = Ñр² = – скаляр, если он применяется к вектору V,  то будет также вектором:

+.

,

.              (1.11)

Здесь Х и Y – массовые силы, действующие в направлении х и у. Уравнения (1.11) представляют собой одну из записей уравнений Навье – Стокса. Если полагать жидкость невязкой (m = 0), то уравнения Навье – Стокса переходят в уравнения Эйлера.

Уравнение неразрывности для рассматриваемого двумерного стационарного случая имеет вид

,  или  div (rV) = 0.                       (1.12)

Это уравнение легко получить, рассмотрев баланс массы для элемента жидкости (рис. 1.2,а). Изменение массового потока жидкости в направлении х должно быть равно его изменению в направлении у с обратным знаком, исходя из закона сохранения массы.

 

а                                                   б

Рис. 1.2. Баланс массы (а) и температуры

(б) для элемента жидкости

Вывод дифференциального уравнения энергии основан на использовании первого начала термодинамики, которое утверждает, что изменение во времени полной энергии объема жидкости равно работе внешних массовых и поверхностных сил в единицу времени  плюс  количество  теплоты,  подведенной  за  то же время извне.

В учебниках [1, 2 и др.] приводится подробный вывод этого уравнения; здесь мы представим его в окончательной форме применительно к рассматриваемому течению:

.                       (1.13)

Аналогично выглядит для рассматриваемого случая и дифференциальное уравнение диффузии:

.                    (1.14)

Следует сказать, что эти уравнения записаны для случая, когда нет объемного тепловыделения d_V (в уравнении энергии) и в потоке отсутствуют химические реакции.

Поясним механизм получения этих уравнений с помощью несколько упрощенного, но физически достаточно ясного приема. Рассмотрим баланс энергии для элемента жидкости со сторонами dx  и  dy (рис. 1.2,б).

При движении жидкости перенос энергии и вещества происходит не только под действием градиентов температуры (–l¶Т/¶n) и концентрации (–D¶C_i/¶n),  но и совместно с движущейся жидкостью. Такой перенос, как известно, получил название конвекции. Итак, имеем теплоту и массоперенос за счет молекулярного механизма, плюс макроскопический перенос с движущейся жидкостью. Тогда для переноса теплоты в направлениях х и у можем записать:

,    .                  (1.15)

Здесь  – член, учитывающий конвективный перенос теплоты; – перенос теплоты теплопроводностью.

В силу закона сохранения энергии, примененного к рассматриваемому элементу, изменение потока энергии в направлении х равно таковому в направлении у с обратным знаком, т.е.

.                          (1.16)

Продифференцируем выражение (1.15):

,

.

Сложим полученные уравнения почленно, учитывая при этом уравнение неразрывности (1.12) и уравнение (1.16):

.

Как видим, получили уравнение (1.13). Используя аналогичный прием, можно получить дифференциальное уравнение диффузии (1.14). При этом нужно рассматривать поток вещества i-го ком-понента смеси , который определяется также макроскопическим конвективным переносом и диффузией.

К системе дифференциальных уравнений движения (1.11), неразрывности (1.12), энергии (1.13) и диффузии (1.14) добавляется еще уравнение состояния, которое для идеального газа имеет вид

,  или   р = rR₀Т,                         (1.17)

где m – масса газа; m – молярная масса; R = 8,315 Дж/(моль×К) – универсальная газовая постоянная.

Массовыми силами (Х и У) в уравнениях движения (1.11) во многих случаях можно пренебречь или же они задаются (например, сила тяжести). Тогда при постоянных значениях с_р, m, l, D получаем замкнутую систему из шести уравнений (1.11)…(1.14) и (1.17) с шестью неизвестными U, V, T, C_i, p  и  r.

Для полной физической определенности решения полученной системы дифференциальных уравнений должны быть заданы граничные условия. Для рассматриваемой системы уравнений они обычно записываются в следующем виде:

при   у = 0:    U = 0,      V = V_ст,     T = T_ст,    C_i = (C_i)_ст;