Для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка начальное условие состоит в том, что функция v(s) должна принять наперед заданные значения и = УО и s --= s0. Следовательно, для решения уравнения (7.2) необходимо знать фазовые координаты поезда в момент начала движения и„, s0. Геометрически задача сводится к нахождению интегральной кривой v (s), проходящей через точку (и„, s0). Скорость vn = 0, координаты поезда на участке s0 и ускоряющая сила /УО в начале движения известны. Однако решение неопределенного интеграла (7.2) можно найти только в том случае, если подынтегральная
функция |— линейна или выражена через элементарные функции, по-
V / у I зволяющие взять от них неопределенный интеграл.
Линеаризация характеристик тяги, торможения и сопротивления движению. Принцип малых отклонений переменных. Н е л и н е и -
4* 99
н ы м и называют системы, свойства которых зависят от их состояния [41, 37]. Поезд является нелинейной системой. Например, при переменной скорости движения поезда возникают нелинейные связи между равнодействующей сил и сообщаемым поезду ускорением. Характерной особенностью нелинейных систем является то, что у них нарушается принцип суперпозиции: результат каждого из воздействий в процессе другого воздействия оказывается не таким, каким он был бы, если бы другое воздействие отсутствовало.
Нелинейности систем осложняют расчеты движения. Для нелинейных уравнений нет общей теории решений, и в каждом отдельном случае используются те или иные приемы приближенных решений. В этой связи разделяют системы на линеаризуемые и нелинеаризуемые (существенно нелинейные).
Линеаризуемыми называют системы, у которых правая часть уравнения (7.2) допускает линеаризацию и благодаря этому поддается дифференцированию.
Характеристики тяги, торможения и сопротивления движению могут быть линеаризованы, если использовать принцип малых отклонений. Его сущность заключается в том, что процесс движения рассматривается в пределах последовательного ряда малых интервалов скоростей и отклонение переменных состояния системы от установившихся значений остается все время достаточно малым. Такой принцип позволяет приближенно считать равнодействующую сил поезда постоянной в пределах каждого малого интервала скорости.
Таким образом, в отличие от интегрального исчисления, в котором аргумент считается непрерывно изменяющимся, в тяговых расчетах функция v (s) определяется при дискретных значениях аргумента. Такое допущение равносильно замене неравномерно ускоренного (неравномерно замедленного) движения равномерно ускоренным (равномерно замедленным), что в пределах малого интервала скорости Ли = ..- Vi — у/_1 дает небольшую погрешность. Приняв подынтегральную функцию (!//>) постоянной в пределах малого интервала скорости, выносим ее за знак интеграла, и тогда решение дифференциального уравнения движения поезда сводится к вычислению определенного интеграла:
s\ °\
i'd<r , —'—— ( vdv. (7.За)
J Wyoi J
So »о
В результате имеем
^-^-^~- <7-3б>
Щуо!
Линеаризацию переменных FK (v), W0 (v), B,r (v) можно произвести графическим путем, либо разложением функций в ряд Тейлора. Графический метод линеаризации называют кусочно-линейной аппроксима-
100
цией (приближением) нелинейных характеристик. При производстве линеаризации необходимо соблюдать установленные правила.
Так, линеаризация допустима, если характеристики FK (v), W0 (v), Br (v) являются «гладкими» (не имеют разрывных неоднозначностей или резко изгибающихся кривых).
Однако если посмотреть на тяговые характеристики, то легко обнаружить переломы кривых в точках ограничений силы тяги по сцеплению и току, неоднозначные при одних и тех же скоростях сил тяги по дизелю, сцеплению и тяговой передаче. Разрывы кривых происходят при смене режимов работы тепловоза. Линеаризация допустима при соблюдении достаточно малых интервалов функции. Правилами тяговых расчетов допускаются интервалы скорости в пределах не более 5—10 км/ч.
Но линеаризацию можно производить только спрямляемых кривых. Из курса математики известно, что если координаты точек кривой представляют собой результат решения непрерывно дифференцируемой функции, то кривая называется спрямляемой. Правилами тяговых расчетов установлены спрямляемыми кривыми характеристики в пределах однородных функций. Например, для тепловоза ТЭЗ разбиение кривых характеристик на интервалы скорости допустимо: силы тяги по сцеплению в пределах от 0 до 13 км/ч, силы тяги по дизелю и тяговой передаче — от 13 до 29,5 км/ч в режиме 16ПП, от 24 до ,51,5 км/ч в режиме 160П1, от 35 до 100 км/ч в режиме ОП2.
При переходных режимах тепловозов сила тяги имеет разные значения при одной и той же скорости. Для упрощения расчетов движения поезда ПТР допускают учитывать среднюю арифметическую этих сил.
Метод наблюдаемости. Уравнение (7.За), разрешенное в форме задачи Коши (7.36), определяет движение только на одном шаге интегрирования при известном начальном условии (у„, s0). Однако необходимо найти общее решение, т. е. рассчитать движение поезда на всем тяговом участке. Для этого надо знать начальные условия на каждом шаге. В момент трогания поезда с места начальные усЛовия (va, s0, /yo) известны, и поэтому задача легко решается на первом шаге интегрирования. Но на любом другом отдельно взятом интервале пути начальные условия неизвестны потому, что фазовые координаты поезда (vt, Sf) зависят не только от сил, действующих в каждый момент времени, но и от скорости, которую он развил на предшествующих участках пути.
Чтобы найти общее решение, в тяговых расчетах применяют метод наблюдаемости [22], сущность которого заключается в вычислении текущих координат состояния движущегося объекта по доступной измерению (наблюдению) функции от этих координат. Применительно к механическому движению поезда это означает, что параметры его состояния (vt, Si) и равнодействующая сила (в режиме тяги /у,-) должны определяться в процессе решения дифференциального уравнения. При этом в качестве начальных условий (v,, st) на некотором /-м шаге интегриро-
101
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.