Векторное пространство. Линейная зависимость. Базис векторного пространства

220400             Алгебра и геометрия           Толстиков А.В.

Лекции 4. Векторное пространство

План

1. Векторные пространства
2. Линейная зависимость
3. Базис векторного пространства

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 7-22.

2. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

1. Векторные пространства

1.  Определение числового поля.

Определение 1. Множество Р чисел, содержащее не менее двух чисел, называется числовым полем если для любых двух чисел a, b ÎР выполняются свойства:

1)  a + b ÎР;

2)  a - b ÎР;

3)  ab ÎР;

4)  если b¹0, то a / b ÎР.

В дальнейшем мы будем числовое поле называть для краткости просто полем, которое является общим понятием, чем числовое поле. Но все, что говорится в этом параграфе справедливо и для произвольного поля. Элементы поля называются также скалярами.

Примерами числовых полей являются множество R всех действительных чисел, множество Q всех рациональных чисел, но множеств N всех натуральных и множество Z целых чисел не являются числовыми полями.

Упражнение 1. Докажите, что множество Р = {a + b|a, b ÎQ} является числовым полем.

2. Определение векторного пространства.

Определение 2. Непустое множество V элементов вида a, b, c,... называется векторным (или линейным) пространством над полем Р , если

1) на множестве V определена бинарная алгебраическая операция, называемая сложением, и которая любой паре элементов a, b ÎV ставит в соответствие единственный третий элемент из V, обозначаемый a + b  и называемый их суммой;

2) определена операция умножения элементов из множества V на числа из поля Р, которая любому элементу a ÎV и любому числу aÎР ставит в соответствие единственный элемент из V , обозначаемый aa  и называемый произведением элемента a на число a;

3) эти операции обладают следующими условиями (аксиомами векторного пространства).

1^°. Сложение элементов в V ассоциативно, т.е. a + (b + c) =(a + b) + c для любых a, b, c ÎV .

2^°. Сложение элементов в V коммутативно, т.е. a + b  = b + a  для любых a, b ÎV.

3^°. Существует нулевой такой элемент 0 ÎV , что для любого a ÎV имеем a + 0  =  0 + a = a.

4^°. Для любого a ÎV существует такой элемент -a ÎV, что  имеем        a + (-a) = (-a) + a  = 0 .

5^°. Умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов из V , т.е. a(a + b)  =aa + ab  для любых a, b ÎV   и  aÎР.

6^°. Умножение на число дистрибутивно относительно сложения чисел  из Р , т.е. (a + b)a  =aa + ba для любых a ÎV   и  a, bÎР.

7^°. (ab)a  =a(ba) для любых a ÎV   и  a, bÎР.

8^°. Умножение унарно, т.е. 1a  = a для любого a ÎV , где 1 - единица поля Р.

Элементы множества V называются векторами, вектор 0 -нулевым вектором, вектор -a - противоположным вектором для вектора a. Свойства 1^° - 8^° называются аксиомами векторного пространства.

3.  Примеры векторных пространств.

Пример 1. Пространство скаляров. По определению поля следует, что любое поле Р является векторным пространством над самим собой относительно операций сложения и умножения в поле.

Пример 2. Рассмотрим множество V₂    всех радиус векторов координатной плоскости с началом в начале координат, которые складываются по            правилу параллелограмма и умножаются на числа поля R как геометрические векторы. Из свойств геометрических векторов следует, что V₂                                                         является векторным пространством                                     над полем R.

Пример 3. Пространство матриц. Пусть  - множество всех матриц размерности m ´ n с элементами из поля Р. По определению и свойствам операций сложения матриц и умножению матрицы на число, это множество является векторным пространством над полем Р, его называют векторным пространством m´n - матриц над полем Р.

Пример 4. Арифметическое или координатное n-мерное пространство. n - мерным числовым вектором над полем Р называют упорядоченный набор из n чисел поля Р. Числа называются координатами числового вектора. Множество всех n - мерных числовых векторов обозначается символом Рⁿ.

Пусть a=(a₁, a₂,...,a_n), b=(b₁, b₂,...,b_n) два n - мерные числовые вектора. 

Два n - мерных числовых вектора называются равными, если все соответствующие координаты векторов попарно равны.

Суммой n - мерных числовых векторов называется такой n - мерный числовой вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат данных векторов, т.о.

a=(a₁+b₁,a₂+b₂,...,a_n + b_n).

Произведением n - мерного числового вектора на число kÎP называется такой n - мерный числовой вектор, каждая координата которого равна произведению числа k на соответствующую координату данного вектора, т.о.

ka = (ka₁, ka₂,...,ka_n).

Заметим, что n - мерные числовые вектора являются матрицами размерности 1´n и операции сложение и умножение на число совпадают с матричными операциями. Поэтому множество Рⁿ является векторным пространством над полем Р. Оно называется n-мерным арифметическим или координатным пространством, или пространством строк длины n над полем Р.