Аналогично рассматривается пространство столбцов из n элементов над полем Р.
Пример 5. Пространство функций. Пусть Х - произвольное множество, F(X) - множество всех функций на X со значениями в поле Р , т.е. отображений X в Р. Если f : X®P такое отображение, то f(x) обозначает значение f на элементе xÎX.
Сумма f+g функций f и g и произведение a f функции f на число aÎP определяются поточечно:
(f+g)(x)=f(x)+g(x), для любых xÎX;
(af)(x)=a(f(x)), для любых aÎР, xÎX.
Множество F(X) является векторным пространством над полем Р . Оно называется пространством функций на Х со значениями в поле Р.
Действительно, ранее было доказано, что множество F(X) является аддитивной абелевой группой (см. пример 1.4.1), т.е. выполняются условия 1), 1°-4° определения 1.
Доказывая условие 2) заметим, что произведение числа aÎР на функцию fÎF(X) есть функция, определенная на Х со значениями в Р, т.е. afÎF(X). и она определена однозначно.
Условия 5°-8° проверяются на основании определения равенства функций. Проверим, например, условие 5°, которое в нашем случае принимает вид:
a(f+g)=af + ag, где f, gÎF(X) ,aÎP.
Так как области определений функций, стоящих в правой и левой частях этого равенства, равны и для любого xÎX
(a(f+g))(x) = a((f+g)(x)) = a(f(x)+g(x)) = a(f(x))+a(g(x)) =
= (af)(x)+(ag)(x) = (af + ag)(x), то указанное выше равенство выполняется.
Из приведенных выше примеров следует, что векторные пространства встречаются во всех разделах математики и заслуживают пристального изучения.
3. Простейшие свойства векторного пространства. Рассмотрим те свойства векторного пространства, которые вытекают из его определения.
Свойство 1. В векторном пространстве V существует единственный нулевой вектор 0.
Доказательство. Допустим противное, что в V имеется два нулевых вектора 0 и 0¢. Тогда по аксиомам 3° и 1° имеем
0 = 0 + 0¢ = 0¢ + 0 = 0¢.
Свойство 2. В векторном пространстве для любого вектора a ÎV существует единственный противоположный вектор -a ÎV.
Доказательство. Допустим противное, что для вектора aÎV имеется два противоположных вектора -a1 и -a2. Тогда по аксиомам 1° - 4° имеем
-a1= -a1 + 0 = -a1 + (a +(-a2))= (-a1 + a)+(-a2)= (a +(-a1))+(-a2) =
= 0 +(-a2) = (-a2) + 0 = -a2.
Определение 3. Разностью двух векторов a и b, называются такой третий вектор с, обозначаемый символом a - b, при сложении которого с вектором b получаем вектор a.
Свойство 3. Для любых векторов a, b разность a - b существует, единственна и вычисляется по формуле:
a - b = a + (-b).
Доказательство. См. доказательство теоремы 7 из §1.
Свойство 4. Для любых векторов a, bÎV имеем -(a + b) =(-а) + (-b).
Доказательство. По аксиомам 1° - 4° имеем
(a + b) +((-а) + (-b)) = (a + (-а)) +(b + (-b)) = 0 + 0 = 0.
В силу единственности противоположного вектора получаем -(a + + b) =(-а) + (-b).
Свойство 5. Для любого вектора aÎV имеем -(-a) = а.
Доказательство. По аксиомам 1°, 3° a +(-а) = (-а)+a = 0 и в силу единственности противоположного вектора получаем -(-a)= а.
Свойство 6. Для любых векторов a, b, c Î V , если a + b = а + с, то b = с.
Доказательство. Прибавим к обеим частям равенства a + b = =а+ с вектор -а, по аксиомам 1° - 3° получим b = с.
Свойство 7. Для любых векторов a, bÎV, если a + b = а, то b = 0.
Доказательство. Следует из свойства 6.
Свойство 8. Для любого вектора aÎV имеем 0×a = 0.
Доказательство. По аксиомам 8° и 6° имеем
a + 0×a = 1×a + 0×a = (1+0)×a = 0×a .
Отсюда по свойству 7 0×a = 0.
Свойство 9. Для любого числа aÎР имеем a×0 = 0.
Доказательство. По аксиоме 5° имеем
a×a + a×0 = a×(а + 0) = a×a .
Отсюда по свойству 7 a×0 = 0.
Свойство 10. Пусть aÎV, aÎР. a×а = 0 тогда и только тогда, когда a=0 или а = 0.
Доказательство. Достаточность условия следует из свойств 9 и 10, а необходимость докажем методом от противного. Допустим, что aа = 0 и a¹0 или а ¹ 0. Так как Р - поле, то для aÎР, a¹0 существует обратный элемент a-1ÎР. Тогда умножая обе части равенства aа = 0 на a-1 и пользуясь аксиомами 7 и 8 последовательно получаем
a-1(aа) = 0 , (a-1a)а = 0 , 1×а = 0 , а = 0, противоречие. Свойство доказано.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.