Векторное пространство. Линейная зависимость. Базис векторного пространства, страница 4

Определение 2. Система векторов a₁, a₂, ..., a_k  векторного пространства V называется линейно независимой, если равенство (1) выполняется только тогда, когда все a₁, a₂, ...,  a_k ÎР  равны нулю.

Для того, чтобы проверить данную систему векторов a₁, a₂, ..., a_k на линейную зависимость, необходимо составить векторное уравнение: 

x₁a₁ +x₂a₂ + ...+ x_ka_k = 0.                                                                 (2)

Если это уравнение имеет только нулевое решение, то данная система векторов линейно независима, если оно имеет ненулевое решение, то система векторов линейно зависима.

Пример 1. Вектора a₁ = (1, 2), a₂ = (2, 3) линейно независимы. Действительно, векторное уравнение      x₁a₁ +x₂a₂  = 0  принимает вид: x₁(1, 2) + x₂(2, 3) = (0, 0). Оно  равносильно системе уравнений:

которая имеет только нулевое решение (0, 0).

Свойство 1. Система векторов a₁, a₂, ..., a_k , где k>1, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы был линейной комбинацией остальных векторов.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов a₁, a₂, ..., a_k , где k>1, линейно зависима. Тогда существуют такие числа a₁, a₂, ...,  a_k ÎР  не все равные нулю, что выполняется равенство:

a₁a₁ +a₂a₂ + ...+ a_ka_k = 0.

Можем считать, что a_i ¹ 0. Тогда из последнего равенства последовательно получаем

a_ia_i = -a₁a₁ -...- a_i-1a_i-1 - a_i+1a_i+1 -...- a_ka_k,

a_i=a₁ +...+ a_i-1 + a_i+1 +...+ a_k.

Следовательно, вектор a_i линейная комбинация остальных векторов системы.

Достаточность. Пусть  вектор a_i (1 £ i £ k)  системы  a₁, a₂, ..., a_k  есть линейная комбинация остальных векторов:

a_i = b₁a₁ +...+ b_i-1a_i-1 + b_i+1a_i+1 +...+ b_ka_k.

Тогда

 b₁a₁ +...+ b_i-1a_i-1 + (-1)×a_i + b_i+1a_i+1 +...+ b_ka_k = 0

и система a₁, a₂, ..., a_k линейно зависима.

Свойство 2. Если система a₁, a₂, ..., a_k содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Предположим, что a_i = 0  (1 £ i £ k). Тогда справедливо равенство  0×a₁ +...+ 0×a_i-1 + 1×a_i + 0×a_i+1 +...+ 0×a_k = 0, где не все коэффициенты равны нулю и данная система векторов линейно зависима.

Свойство 3. Если система состоит из одного ненулевого вектора, то она линейно независима.

Действительно, если вектор   a ¹ 0 , то из равенства  a a = 0 по свойству 10 векторного пространства следует, что a= 0, и вектор a  образует линейно независимую систему.

Свойство 4. Если какая-нибудь подсистема данной системы векторов a₁, a₂, ..., a_k линейно зависима, то и вся система  линейно зависима.

Доказательство. Пусть какая-нибудь подсистема данной системы векторов a₁, a₂, ..., a_k линейно зависима. Для определенности будем предполагать, что линейно зависима подсистема, состоящая из первых l векторов. Тогда найдутся такие числа a₁, a₂, ...,  a_l ÎР  не все равные нулю, что выполняется равенство:

a₁a₁ + a₂a₂ + ...+ a_la_l = 0.

Отсюда по свойству векторов следует, что

a₁a₁ +a₂a₂ + ...+ a_la_l  + 0×a_l+1 + ...+ 0×a_k = 0.

Так как среди чисел a₁, a₂, ...,  a_l , 0, ..., 0  есть числа не равные нулю, то система векторов a₁, a₂, ..., a_k линейно зависима.

Свойство 5. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема  линейно независима.

Доказательство. Если допустить, что какая-нибудь подсистема данной системы векторов линейно зависима, то по свойству 4 вся система векторов линейно зависима. Получаем противоречие.

Свойство 6. Пусть  система векторов  a₁, a₂, ..., a_k линейно независима, а  система  векторов   a₁, a₂, ..., a_k, b линейно зависима. Тогда вектор b есть линейная комбинация векторов a₁, a₂, ..., a_k .

Доказательство. Так как система  векторов   a₁, a₂, ..., a_k, b линейно зависима, тогда найдутся такие числа a₁, a₂, ...,  a_k , bÎР  не все равные нулю, что выполняется равенство:

a₁a₁ +a₂a₂ + ...+ a_ka_k + b×b = 0.                                                      (3)  

В этом равенстве число b¹0. Действительно, если b=0, то равенство (3) приводится к виду:

a₁a₁ +a₂a₂ + ...+ a_ka_k = 0,

где не все числа a₁, a₂, ...,  a_k ÎР  не все равные нулю. Отсюда следует, что система a₁, a₂, ..., a_k  линейно зависима. Получаем противоречие с условием. Следовательно, b¹0 и из равенства (3) находим линейное выражение вектора b через вектора a₁, a₂, ..., a_k :