Свойство 11. Пусть aÎV, aÎР. Тогда (-a)а = -(aа) иa(-а) = -(aа).
Доказательство. По аксиоме 6° и свойству 8 имеем
aa + (-a)а = (a+(-a))а = 0×a = 0,
aa + a(-а )= a(а + (-а ))= a×0 = 0,
Отсюда в силу единственности противоположного вектора получаем требуемые равенства.
Свойство 12. Для любых a ÎV , a, bÎР , если aa - ba = (a- b)a.
Доказательство. По определению разности , аксиоме 6 и свойству 11 имеем
aa - ba = aa + (-(ba)) = aa + (-b)a = (a + (-b))a =(a- b)a .
Аналогичным образом доказываются следующие три свойства, которые рекомендуется доказать читателю самостоятельно.
Свойство 13. Для любых a, b ÎV , aÎР , имеем aa - ab = a( a - b).
Свойство 14. Для любых a, b ÎV и a¹0 ,если aa = ab, то a = b.
Свойство 15. Для любых a ÎV и a, bÎР , если aa = ba , то a = b.
3. Подпространства. Пусть V векторное пространство над полем Р.
Определение 1. Непустое подмножество LÍV называется подпространством векторного пространства V или подпространством в V если выполняются условия:
(1) a + bÎL для любых a, bÎL;
(2) a aÎL для любых aÎL, aÎР.
Так как 0 + 0 = 0, a 0 = 0 для любого aÎР, то множество L={0} образует подпространство в V. Это подпространство называется нулевым подпространством. По определению V является подпространством самого себя. Эти два подпространства называются тривиальными, а остальные нетривиальными.
Пример 1. Пусть l прямая на координатной плоскости, проходящая через начало координат. Тогда множество всех радиус векторов плоскости с началом в начале координат и с концами на данной прямой образует подпространство пространства всех радиус векторов плоскости с началом в начале координат (см. пример 4 и чертеж из параграфа 1).
Пример 2. Множество
всех треугольных матриц порядка n образует подпространство пространства
матриц порядка n.
Пример 3. Множество всех непрерывных на множестве R функций образует подпространство пространства F(R) действительных функций, определенных на R.
Теорема 1. Любое подпространство L векторного пространства V само является векторным пространством над тем же полем Р относительно операций, определенных в V.
Доказательство. Пусть L подпространство в V. Покажем, что L векторное пространство, а для этого проверим условия в определении 1.1 векторного пространства.
1) В силу условия (1) a + bÎL для любых a, bÎL , т.к. сумма векторов a + b находится единственным образом в V , то операция сложения векторов однозначна и в L. Таким образом, операция сложения в L бинарная алгебраическая операция.
2) Аналогично показывается, что операция умножения на числа из Р выполнима и однозначна.
3) Проверяем условия 1°-8°.
1°. Так как a + (b + c) =(a + b) + c для любых и a, b, c ÎV ,LÍV , то это условие выполняется для любых a, b, c ÎL.
Аналогично проверяются условия 2°,5-8°.
3°. Так как L¹Æ, то существует aÎL. По свойству 8 векторного пространств 0×a=0. Тогда по определению подпространства 0ÎL. Так как a+0=a для любого a ÎV, LÍV , то это свойство выполняется для любого aÎL.
4°. По свойству 11 и условию 8° определения векторного пространства (-1)а = -(1×а)= -a для любого a ÎV ,LÍV, то (-1)а = -a для любого а ÎL. По условию (2) определения подпространства -a =(-1)а ÎL для любого а ÎL. Так как а + (-a) = 0 для любого a ÎV, LÍV , то это выполняется для любого aÎL.
Таким образом, по определению 1.1 L векторное пространство над полем Р.
2. Линейная зависимость
Пусть V векторное пространство над полем Р, a1, a2, ..., ak - система векторов из V.
Определение 2. Вектор a называется линейной комбинацией векторов a1, a2, ..., ak , если a представляется в виде a=a1a1 + a2a2 + ... + akak , где коэффициенты a1, a2, ..., ak ÎР.
По свойствам векторного пространства всегда справедливо равенство
0×a1 + 0×a2 + ... + 0×ak = 0.
Определение 1. Система векторов a1, a2, ..., ak векторного пространства V называется линейно зависимой, если существуют такие числа a1, a2, ..., ak ÎР не все равные нулю, что выполняется равенство:
a1a1 +a2a2 + ...+ akak = 0. (1)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.