b = 
a1 + 
a2 +...+ 
ak.
3. Базис векторного пространства
1. Определение базиса. Пусть V векторное пространство над полем Р.
Определение 1. Базисомвекторного пространства V называется такая упорядоченная система v1, v2, ..., vn из V , что выполняются свойства:
1) система векторов линейно независима;
2) любой вектор из V линейная комбинация векторов v1, v2, ..., vn.
Определение 2. Размерностью векторного пространства V называется число векторов базиса векторного пространства V .
Обозначается размерность векторного пространства V символом n = dim V.
Нулевое векторное пространство {0} не имеет базиса и предполагается, что dim{0} = 0.
Пример 1. Базисом арифметическое n-мерное пространство Pn является система векторов:
e1 = (1, 0, 0,... ,0), e2 = (0, 1, 0,... ,0), ... , en = (0, 0, 0,... ,1) (1)
и dim Pn = n. Действительно, легко проверить, система (1) линейно независима. Далее любой вектор a = (a1, a2, ... ,an) Î Pn линейная комбинация векторов системы (1),
a = a1e1 + a2e2 + ... + an en.
Пример 3. Базисом пространства матриц Pm´n является система состоящая из m n различных матриц, в каждой из которых один элемент равен 1 , а остальные элементы равны 0. dim Pm´n = m n.
В курсе линейной алгебры доказывается, что число векторов базиса не зависит от выбора базиса.
2. Координаты вектора.
Теорема 1. Любой вектор a Î V единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т.е., если v1, v2, ..., vn базис векторного пространства V , то
a = x1v1 + x2v2 +...+ xnvn ; x1, x2, ...,xn Î P, (2)
и такое представление единственно.
Доказательство. 6° Пусть b1, b2, ..., br базис системы S. По определению базиса любой вектор a Î S есть линейная комбинация векторов базиса:
a = a1b1 + a2b2 +...+ arbr.
Доказывая единственность такого представления, допустим противное, что есть еще одно представление:
a = b1b1 + b2b2 +...+ brbr.
Вычитая эти равенства почленно, находим
0 = (a1 - b1)b1 + (a2 - b2)b2 +...+ (ar - br)br.
Так как базис b1, b2, ..., br линейно независимая система, то все коэффициенты ai - bi =0; i = 1, 2, ..., r. Следовательно, ai = bi ; i = 1, 2, ..., r и единственность доказана.
Представление вектора a в виде (2) называется разложением вектора по векторам базиса, а числа x1, x2, ..., xn называются координатами вектора a в данном базисе.
По определению произведения строки на столбец это равенство можно представить как
a = (v1 ,v2 ,... vn)
= v×(x1 ,x2
,... ,xn)t,
(3)
v = (v1 ,v2 ,... vn) - базис векторного пространства. Строка (x1 ,x2 ,... ,xn) называется координатной строкой вектора a, и вектор записывается в виде: a = (a1, a2,... ,an). Столбец (x1 ,x2 ,... ,xn)t - координатным столбцом вектора a.
Теорема 2. Пусть два вектора a и b разложены по одному и тому же базису: a = (a1, a2,... ,an), b = (b1, b2,... ,bn). Тогда справедливы утверждения.
1° Векторы a и b равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е. ai = bi; i = 1, 2,… , n.
2° При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, т.е. a + b = (a1 + b1,a2 + b2,... ,an + bn).
3° При умножении вектора a на число l все координаты вектора a умножаются на это число l, т.е. l a = (l a1,l a2,... , l an).
Доказательство. Справедливость1° следует в силу единственности разложения вектора по векторам базиса. Докажем 2°. Пусть
a = x1v1 + x2v2 +...+ xnvn , b = y1v1 + y2v2 +...+ ynvn
разложения векторов a , b по базису v1 ,v2 ,... vn. Тогда
a + b = (x1 + y1)v1 + (x2 + yn)v2 +...+ (xn + yn)vn
и отсюда следует 2°. Утверждение 3° доказывается аналогично.
3. Матрица перехода. Пусть
v = (v1, v2, ..., vn) ,
u = (u1, u2, ..., un)
два базиса векторного пространства V . Выразим вектора базиса второго базиса через вектора первого базиса:
u1 = t11v1 + t21v2 + ... +tn1vn,
u2 = t12v1 + t22v2 + ... +tn2vn, (4)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.