Линейные операторы. Линейные операторы вевклидовых пространствах (Задачи к практическим занятиям 14-15)

220400                                                  Алгебра и  геометрия                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 2. Практическое занятие 14. Линейные операторы

Изучаемые вопросы

Определение линейного оператора. Свойства линейного оператора. Примеры  линейных операторов. Матрица линейного оператора. Преобразование координат при действии линейного оператора. Подобные матрицы. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Операции над линейными операторами.Определение характеристического уравнения линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и их связь с корнями характеристического уравнения. Инвариантное подпространство. Линейный оператор с простым спектром. Условие, при котором матрица подобна диагональной матрице.

Задачи для решения в аудитории и на дом

1.  Пусть L= L(1,x, x²), x - переменная. Докажите, что преобразование дифференцирования есть линейный оператор в L. Найти  матрицу этого линейного оператора относительно базиса 1, x, x² .

2. Пусть x = (x₁, x₂, x₃). Является ли преобразование A: R³ ® R³  линейным оператором?  

1)  Ax =(x₁, 2x₂ + 3x₃, -x₂) ; 2) Ax = (x₁+ x₂, x₁+x₃-x₂, x₁) ; 3) Ax = (x₁+ x₂, x₃, 0) ; 4) Ax= = (x₁+ x₂, 1, x₃).

Если A - линейный оператор, то найти  матрицу этого линейного оператора относительно базиса e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1) . Найти ядро, образ, ранг и дефект этого линейного оператора.  

3. В пространстве R² найти матрицу перехода от базиса  e₁=(1,0), e₂=(0,1) к базису v₁=(1,5), v₂=(1,4) и обратно.

4. В пространстве R² найти матрицу перехода от базиса  v₁=(1,4), v₂=(1,3) к базису u₁=(3,-2), u₂=(-4,3) и обратно.

5. В пространстве R³ найти матрицу перехода от базиса  v₁=(1,0,1), v₂=(1,3,0) , v₃=(0,1,1) к базису u₁=(2,3,-2), u₂=(1,-1,0), u₃=(2,-1,1) и обратно.

6. Пусть x = (x₁, x₂). Найти  матрицы линейных операторов A, B: R² ® R² относительно базиса v₁=(1,1), v₂=(0,-1).   1)  Ax =(x₁, x₁ + 3x₂) ; 2) Bx = (x₁- x₂, x₁+x₂) .

7. Для указанных в задаче 6 линейных операторов A, B найти  матрицы линейных оператора A+ B, A+2B, AB, B A относительно базиса e₁=(1,0), e₂=(0,1). Записать их явно.

8. Пусть x = (x₁, x₂, x₃). Найти  матрицы линейных операторов A, B: R³ ® R³ относительно базиса v₁=(1,1,0), v₂=(0,1,1), v₃=(1,1,1):

1)  Ax =(x₁, x₂ + 3x₃, -x₂) ; 2) Bx = (x₁- x₂, x₁+x₃, x₁) .

9. Для указанных в задаче 6 линейных операторов A, B найти  матрицы линейных оператора A+ B, 3A-2B, AB, B A относительно базиса e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1). Записать их явно.

10.   Докажите, что следующих преобразований V₂ являются линейными операторами:

1)  поворот плоскости на угол относительно начала координат; 2) симметрия плоскости относительно оси Ox;

3)    гомотетия плоскости относительно начала координат с коэффициентом k ¹  0.

Найти  матрицу  линейного оператора в базисе i,  j. Найти ядро, образ, ранг и дефект этих линейных операторов.

Задача для контроля изученного материала

Ответы:1. . 7. 1)Да, ,  Ker j = ={0}, Im j = R³, rang j = 3, def j = 0; 2)Да, ,  Ker j = {0}, Im j = R³, rang j = 3, def j = 0; 3)Да, ,  Ker j = L(b), b =  (0, 0 , 1), Im j = L(b₁, b₂), b₁ =  (1, 1 , 0) , b₂ =  (0, 0 , 1), rang j = 2, def j = 1;4)Нет. 3.. 4. . 5. , 6..  7. . 8. .9. . 10. 1) , Ker j ={0}, Im j = V₂, rang j = 2, def j = 0; 2) , Ker j ={0}, Im j = V₂, rang j = 2, def j = 0; 3) , Ker j ={0}, Im j = V₂, rang j = 2, def j = 0.

1.  Пусть L= L(1,x, x²), x - переменная, A  - линейный оператор дифференцирования. Найти  собственные значения и собственные векторы линейного оператора A.

2. Пусть x = (x₁, x₂, x₃). В  R³ найти собственные векторы и собственные значения  линейного оператора A.

2)  Ax =(x₁, 2x₂ + 3x₃, -x₂) ; 2) Ax = (x₁+ x₂, x₁+x₃-x₂, x₁) ; 3) Ax = (x₁+ x₂, x₃, 0) ; 4) Ax= = (x₁+ x₂, x₁+ 2x₂ + x₃, x₂ + x₃).

3. Пусть x = (x₁, x₂). В R² найти собственные векторы и собственные значения  линейного