Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа

220400                   Алгебра и геометрия                    Толстиков А.В.

Лекции 16. Билинейные и квадратичные формы.

План

1.  Билинейная форма и ее свойства.

2.  Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

3.  Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

4.  Закон инерции квадратичных форм.

5.  Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу собственных значений.

6.  Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.

Рекомендуемая литература

1.  Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3.  Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4.  Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5.  Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

[1, с. 263-272, 346-349], [2, 191-177] , [3,с.291-325] , [4, с.140-147] , [6, с.122-132, 372-380]

1.  Билинейная форма и ее свойства.  Пусть V - n-мерное векторное пространство над полем P.

Определение 1. Билинейной формой, определенной на V, называется такое отображение g: V² ® P, которое каждой упорядоченной паре (x, y) векторов x, y из ставит в V соответствие число из поля P, обозначаемое g(x, y), и линейное по каждой из переменных x, y, т.е. обладающее свойствами:

1)  ("x, y, z ÎV) g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z);

2)  ("x, y ÎV) ("a ÎP) g(ax, y) = ag(x, y);

3)  ("x, y, z ÎV) g(x, y + z) = g(x, y) + g(x, z);

4)  ("x, y ÎV) ("a ÎP) g(x, ay) = ag(x, y).

Пример 1. Любое скалярное произведение, определенное на векторном пространстве V является билинейной формой.

2. Функция h(x, y) = 2x₁ y₁- x₂ y₂ + x₂y₁ , где x = (x₁, x₂),  y= (y₁, y₂)ÎR², билинейная форма на R².

Определение 2. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) - базис векторного пространства V. Матрицей билинейной формы g(x, y) относительно базиса v называется матрица B =(b_ij)_n´n, элементы которой вычисляются по формуле b_ij = g(v_i, v_j):

.

Пример 3. Матрица билинейной формы h(x, y) (см. пример 2) относительно базиса e₁= (1,0), e₂ = (0,1) равна .

Теорема 1. Пусть X, Y- координатные столбцы соответственно векторов x, y в базисе v, B - матрица билинейной формы g(x, y) относительно базиса v. Тогда билинейную форму можно записать в виде

g(x, y)=X^tBY.                                                                                             (1)

Доказательство. По свойствам билинейной формы получаем               



Пример 3. Билинейной формы h(x, y) (см. пример 2) можно записать в виде h(x, y)=.

Теорема 2. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n), u = (u₁, u₂,…, u_n) - два базиса векторного пространства V, T- матрица перехода от базиса v к базису u. Пусть B = (b_ij)_n´n и С =(с_ij)_n´n - матрицы билинейной формы g(x, y) соответственно относительно базисов v и u. Тогда

С = T^tBT.                                                                                              (2)

Доказательство.  По определению матрицы перехода и матрицы билинейной формы находим:



Определение 2. Билинейная форма g(x, y) называется симметричной, если g(x, y) = g(y, x) для любых x, y ÎV.

Теорема 3. Билинейная форма g(x, y)- симметричной тогда и только тогда, когда матрица билинейной формы относительно любого базиса симметричная.

Доказательство. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) - базис векторного пространства V, B = (b_ij)_n´n - матрицы билинейной формы g(x, y) относительно базиса v. Пусть билинейная форма g(x, y)- симметричная. Тогда по определению 2 для любых i, j = 1, 2,…, n имеем b_ij = g(v_i, v_j) = g(v_j, v_i) = b_ji. Тогда матрица B - симметричная.

Обратно, пусть матрица B - симметричная. Тогда B ^t = B и для любых векторов x = x₁v₁+ …+ x_nv_n = vX, y = y₁v₁+ y₂v₂+…+ y_nv_n = vY ÎV , согласно формуле (1), получаем  (учитываем, что число - матрица порядка 1, и при транспонировании не меняется)

g(x, y) = g(x, y)^t = (X^tBY)^t = Y^tB ^tX = g(y, x).

2. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

Определение 1. Квадратичной формой определенной на V, называется отображение f: V ® P, которое для любого векторов x из V определяется равенством f(x) = g(x, x), где g(x, y) - симметричная билинейная форма, определенная на V .

Свойство 1. По заданной квадратичной форме f(x) билинейная форма находится однозначно по формуле

g(x, y) = 1/2(f(x+ y) - f(x)- f(y)).                                                                         (1)

Доказательство. Для любых векторов x, y ÎV получаем по свойствам билинейной формы

f(x+ y) = g(x+ y, x+ y) = g(x, x+ y) + g(y, x+ y) = g(x, x) + g(x, y) + g(y, x) + g(y, y) = f(x) + 2g(x, y) + f(y).

Отсюда следует формула (1). 

Определение 2. Матрицей квадратичной формы f(x) относительно базиса v = (v₁, v₂,…, v_n) называется матрица соответствующей симметричной билинейной формы g(x, y) относительно базиса v.

Теорема 1. Пусть X = (x₁, x₂,…, x_n)^t - координатный столбец  вектора x в базисе v, B - матрица квадратичной формы f(x) относительно базиса v. Тогда квадратичную форму f(x) можно записать в следующих видах: