Так как матрицы B, A - симметрические, то симметрическая матрица B - A. Рассмотрим квадратичную форму с матрицей B - A. Равенство (2) означает, что значение этой квадратичной формы равно нулю для каждого вектора x. Тогда форма канонического вида для этой формы нулевая, ранг ее равен нулю , и все ее коэффициенты равны нулю. Отсюда B = A.
Теорема 2. Каждая квадратичная форма имеет присоединенный линейный оператор, и только один.
Доказательство. Выберем в En какой-нибудь ортонормированный базис пространства En, и рассмотрим в En тот линейный оператор, который имеет матрицу, равную матрице B квадратичной формы f(x). Найденный линейный оператор A самосопряженный, так как в ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу. Так как из B = A следует X t B X = X tA X, и f(x) = (x, Ax).
Докажем, что квадратичная форма имеет только один присоединенный линейный оператор. Допустим, что квадратичная форма f(x) имеет два присоединенных линейных оператора A, B. По теореме 1 в ортонормированном базисе его матрица равна матрице квадратичной формы f(x). Тогда матрицы операторов A, B в одном и том же базисе равны и операторы A, B совпадают.
Теорема 3. В евклидовом пространстве для каждой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.
Доказательство. Рассмотрим линейный оператор A, присоединенный к квадратичной форме f(x). По теореме 2.5 предыдущей лекции, существует базис евклидова пространства, состоящий из собственных векторов линейного оператора A. Матрица линейного оператора в этом базисе диагональная. Тогда и матрица квадратичной формы диагональная, а квадратичная форма имеет канонический вид.
Следствие. Для любой квадратичной формы f(x) существует такое ортогональное преобразование переменных, которое приводит данную квадратичную форму к каноническому виду.
Доказательство. Существование преобразования следует из теоремы 2. То что преобразование ортогональное следует из того, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортогональная.
Пример 1. Привести
квадратичную форму
к каноническому
виду ортогональными преобразованиями и найти эти преобразования
Решение. Рассмотрим присоединенный к квадратичной форме f(x) линейный оператор A евклидовом пространстве Е3, который имеет, имеет в ортонормированном базисе e1, e2, e3 матрицу
.
Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A - l.E| = 0.
Найдем все корни характеристического уравнения: l1=2, l2 = l3 = -1. Тогда матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид
.
Составим квадратичную форму канонического вида
Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - l.E)X=0.
Пусть l1=2. Матричное уравнение (A - l1E)X=0 принимает вид:
Решая систему, находим решение x = c(1,1,1), cÎR/{0}.
Пусть l2 = l3 = -1. Матричное уравнение (A - l1E)X=0 принимает вид:
Решая систему, находим решение x = c1(-1,1,0) + c2(-1,0,1), cÎR.
Полученный базис a1 = (1,1,1), a2 = (-1,1,0), a3 =(-1,0,1) ортонормируем.
b1
= (1,1,1), b2 = (-1,1,0), b3
= a3 + k b2, 
, b3
=(-1/2, 1, -1/2).
.
Ортогональное преобразование, переводящее квадратичную форму в форму канонического вида, имеет вид
6. Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.
Определение 1. Квадратичная форма f(x1, x2,…, xn) называется положительно определенной, если для любых значений переменных x1, x2,…, xn Î Rn не всех равных нулю значение формы положительно; т.е. f(x1, x2,…, xn) ³ 0 и f(x1, x2,…, xn) = 0 Û x1 = x2 =…= xn = 0.
Определение 2. Квадратичная форма f(x1, x2,…, xn) называется отрицательно определенной, если для любых значений переменных x1, x2,…, xn Î Rn не всех равных нулю значение формы отрицательно; т.е. f(x1, x2,…, xn) £ 0 и f(x1, x2,…, xn) = 0 Û x1 = x2 =…= xn = 0.
Определение 3. Квадратичная форма f(x1, x2,…, xn) называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она ля любых значений переменных x1, x2,…, xn Î Rn значение формы неотрицательное (неположительное).
Определение 4. Квадратичная форма f(x1, x2,…, xn) называется неопределенной, если она принимает как положительные так и отрицательные значения.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.