Ранг системы векторов и ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы, методом окаймления миноров

220400                   Алгебра и геометрия                    Толстиков А.В.

Лекции 11. Ранг системы векторов и ранг матрицы

План

1.  Основная теорема о двух системах векторов.

2.  Базис и ранг системы векторов.

3.  Эквивалентные системы векторов и их свойства.

4.  Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

5.  Теорема о ранге матрицы. Следствия из теоремы о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы. методом окаймления миноров.

1. Основная теорема о двух системах векторов.

Теорема 1. Пусть даны две системы векторов  a₁, a₂, ..., a_k, и b₁, b₂, ..., b_m, которые обладают свойствами:

1) первая система линейно независима;

2) каждый вектор первой системы линейная комбинация векторов второй системы.

Тогда k £  m , т.е. число векторов первой системы не больше числа векторов второй системы.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу векторов второй системы, т.е. по m.

Пусть m=1. Докажем, что k=1. Допустим противное, что k>1. Тогда по второму условию каждый вектор системы a₁, a₂, ..., a_k линейно выражается через вектор b₁, т.е.  a_i = a_ib_i ; i=1,2,...,k, где все числа a_i ¹ 0 ; i=1,2,...,k. Действительно, в противно случае какой-нибудь вектор a_i = 0 и по свойству система a₁, a₂, ..., a_k линейно зависим, что противоречит условию. Тогда из первых двух равенств первой системы получаем, что

a₂a₁ - a₁a₂ = a₂a₁b₁ - a₁a₂b₁ = 0×b₁  = 0.   

Отсюда вектора a₁, a₂ образуют линейно зависимую подсистему системы векторов a₁, a₂, ..., a_k , что противоречит свойству . Установленное противоречие доказывает справедливость теоремы при m=1.

Предположим, что утверждение теоремы справедливо для любой системы второго вида, содержащей m - 1 вектор, и докажем его для системы содержащей m векторов. По второму условию имеем систему k равенств :

a₁ = a₁₁b₁ + a₁₂b₂ +...+ a_1m-1b_m-1 + a_1mb_m,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                     (1)

a_k-1 = a_k-11b₁ + a_k-12b₂ +...+ a_k-1m-1b_m-1 + a_k-1mb_m,

a_k = a_k1b₁ + a_k2b₂ +...+ a_km-1b_m-1 + a_kmb_m.

Если все числа a_im = 0 ; i=1,2,...,k , то из системы равенств (1) следует, что каждый вектор системы a₁, a₂, ..., a_k  линейная комбинация векторов системы b₁, b₂, ..., b_m-1. По индуктивному предположению k £ m - 1 < m, что и требовалось доказать.

Пусть теперь среди чисел a_im ; i=1,2,...,k , есть неравное нулю. Пусть например  a_km ¹ 0 , так как в противном случае равенства в системе (1) можно переставить местами. Теперь исключим вектор b_m  из первых k - 1 равенств системы (1). Для этого к i-му (i=1,2,...,k-1) равенству системы (1) почленно прибавим k-е равенство, умноженное на  число . После этих преобразований первые k-1 равенств системы (2) перепишутся в виде:

с₁ = b₁₁b₁ + b₁₂b₂ +...+ b_1m-1b_m-1 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                          (2)

с_k-1 = b_k-11b₁ + b_k-12b₂ +...+ b_k-1m-1b_m-1 , где с_i  = a_i - × a_k ,  ; i = 1, 2, ..., m-1; j = 1, 2, ..., k-1.

Рассмотрим две системы векторов с₁, с₂, ..., с_k-1, и b₁, b₂, ..., b_m-1. Покажем, что первая система векторов линейно независима. Действительно, из равенства

g₁с₁ +g₂с₂ + ...+ g_k-1c_k-1 = 0, получаем

g₁(a₁ - × a_k) +g₂(a₂ - × a_k) + ...+ g_k-1(a_k-1 - × a_k) = 0, откуда

g₁a₁ +g₂a₂ + ...+ g_k-1a_k-1 + × a_k = 0.

Так как система a₁, a₂, ..., a_k линейно независима, то все числа g₁, g₂, ..., g_k-1 равны нулю. Поэтому система векторов с₁, с₂, ..., с_k-1 линейно независима. В силу равенств (2) каждый ее вектор линейная комбинация системы векторов b₁, b₂, ..., b_m-1. Тогда по индуктивному предположению k - 1£ m - 1 и k £ m. 

2. Базис и ранг системы векторов. Теорема о базисах. Пусть V векторное пространство над полем Р, S - система векторов из V.

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема b₁, b₂, ..., b_r системы S, что любой вектор системы S линейная комбинация векторов b₁, b₂, ..., b_r.

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S. Обозначается ранг системы векторов S символом r = rangS.

Если S = {0}, то система   не  имеет базиса и предполагается , что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов a₁ = (1,2), a₂ = (2,3), a₃ = (3,5), a₄ = (1,3). Вектора a₁ , a₂ образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и a₃ = a₁ + a₂ , a₄ = 3a₁ -  a₂ . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть  S - конечная система векторов из V , S  ¹{0}. Тогда справедливы утверждения.

1° Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2° Система S  обладает базисом.

2° Любые два базиса системы S  содержат одинаковое число векторов, т.е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4° Если r = rangS,  то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5° Если r = rangS,  то любые k > r  векторов системы S линейно зависимы.

6°  Любой вектор a Î S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т.е., если b₁, b₂, ..., b_r базис системы S, то