Определение 3. Две конечные системы векторов S1 и S2 называются эквивалентными, если каждый вектор системы S1 линейная комбинация векторов системы S2 и каждый вектор системы S2 линейная комбинация векторов системы S1.
Эквивалентность систем S1 и S2 обозначается символом S1 ~ S2 .
Теорема 2. Отношение эквивалентности систем векторов рефлексивно, симметрично, транзитивно, т.е. для любых трех систем S1, S2 , S3 выполняются свойства:
1° S1 ~ S1;
2° если S1 ~ S2 , то S2 ~ S1;
3° если S1 ~ S2 и S2 ~ S3 , то S1 ~ S3.
Доказательство. Так как свойства 1° и 2° очевидны, то докажем свойство 3°. Пусть S1 = { a1, a2, ..., am } , S2 = { b1, b2, ..., bn } , S2 = { c1, c2, ..., cp } . По условию и определению эквивлентности систем векторов каждый вектор ai Î S1 линейная комбинация векторов системы S2 и каждый вектор системы S2 линейная комбинация векторов системы S3 , то по лемме aiлинейная комбинация векторов системы S3 . Аналогично доказывается, что каждый вектор сk Î S3 линейная комбинация векторов системы S1 . Тогда по определению эквивалентности S1 ~ S3 Свойство доказано.
Теорема 3. Если конечные системы векторов эквивалентны, то их ранги равны.
Доказательство. Пусть S1, S2 две конечные системы векторов, S1 ~ S2. Если какая-нибудь из систем S1 или S2 нулевая, то и другая нулевая и тогда ранги обеих систем равны нулю. Пусть S1 и S2 ненулевые системы и пусть
b1, b2, ..., br , (4)
c1, c2, ..., cs , (5)
базисы этих систем соответственно. Тогда rangS1 = r и rangS2 = s. Докажем, что r = s.
По определению базиса каждый вектор системы S1 линейная комбинация векторов системы (4). Так как система (4) базис системы S1 , то каждый вектор системы (4) содержится в S1 и поэтому есть линейная комбинация векторов системы S1 . Поэтому (4) ~ S1. Аналогично доказывается, что (5) ~ S2. Так как S1 ~ S2, то по теореме 2 (4) ~ (5).
Отсюда каждый вектор системы (4) линейная комбинация векторов системы (5), а по определению базиса система (4) линейно независима. Тогда по основной теореме о двух системах векторов r £ s. Аналогично доказавается, что s £ r. Из этих двух неравенств следует r = s.
Теорема доказана.
4. Ранг матрицы. Метод элементарных преобразований. Рассмотрим матрицу А размерности m´n с элементами из поля Р:
.
Строки этой матрицы образуют конечную систему векторов в арифметическом n-мерном пространстве Рn:
a1 = (a11, a12, ..., a1n) , a2 = (a21, a22, ..., a2n) , ..., am = (am1, am2, ..., amn) . (1)
Определение 1. Рангом матрицы или называется ранг ее системы строк, если строки матрицы рассматривать как n-мерные числовые вектора.
Обозначают ранг матрицы А символом rangA.
Ранг матрицы, в силу замечания, сделанного к определению 4.1, есть максимальное число линейно независимых строк матрицы. Отсюда следует что ранг нулевой матрицы равен нулю, так как ранг системы нулевых векторов равен нулю. Ранг матрицы, определенный выше, называют также строковым рангом матрицы.
Столбцы матрицы есть матрицы размерности m´1, которые образуют конечную систему векторов в пространстве матриц Р m´1 . Столбцовым рангом матрицы называется ранг ее системы столбцов. В дальнейшем будет доказано, что строковой и столбцовый ранги матрицы равны.
Теорема 1. Элементарные преобразования строк матрицы и преобразование выбрасывания нулевой строки не изменяют ранг (строковый ранг) матрицы.
Аналогичное утверждение имеет место для столбцов.
Доказательство. Докажем теорему для каждого преобразования отдельно. При перестановке строк матрицы ранг матрицы не меняется так как множества строк исходной и преобразованной матриц равны.
Умножим какую-нибудь строку матрицы на число c Î Р, c ¹ 0. Можем считать, что умножается первая строка, так как в противном случае строки матрицы можно переставить не изменяя ранг матрицы. Получим матрицу:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.