Ранг системы векторов и ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы, методом окаймления миноров, страница 4

, строки которой обозначим буквами a¢1, a¢2, ..., a¢m . По определению 1

rangA =rang(a1, a2, ..., am) ,  rangA¢ =rang(a¢1, a¢2, ..., a¢m).

Так как

a¢1 = ca1 = ca1 + 0×a2 + ...+ 0×am , a1 = a¢1 = a¢1 + 0×a¢2 + ...+ 0×a¢m ,

a¢2 = a2 = 0×a1 + 1×a1 + ...+ 0×am , a1 = a¢1 = 0×a¢1 + 1×a¢1 + ...+ 0×a¢m ,

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

a¢m = am = 0×a1 + 0×a1 + ...+ 1×am , am = a¢m = 0×a¢1 + 0×a¢1 + ...+ 1×a¢m , то системы векторов a1, a2, ..., am и a¢1, a¢2, ..., a¢m эквивалентны и по теореме 4.3 rang(a1, a2, ..., am) = rang(a¢1, a¢2, ..., a¢m). Поэтому rangA = rangA¢.

Аналогичным образом доказывается, что ранг матрицы не меняется при прибавлении к одной строке матрацы другой, умноженной на любое число c Î Р, и не меняется при выбрасывании нулевой строки.

Теорема 2. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида и при этом ранг исходной матрицы будет равен числу строк в поученной матрице ступенчатого вида.

Доказательство.   По теореме 2.1.1.1 любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований, выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида:

, где b1k ¹ 0, b2l ¹ 0, ..., brs ¹ 0. По теореме 1 rangA = rangB. Покажем, что rangВ = r, а для этого докажем, что строки b1, b2, ..., br матрицы B линейно независимы. Действительно, если найдутся такие числа a1, a2, ..., ar Î Р, что выполняется равенство

a1b1 + a2b1 + ...+ arbr   = 0, то, переходя от векторного равенства к равенствам соответствующих координат векторов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, получаем систему n числовых равенств:

a1×0 + a2×0 + ...+ ar×0   = 0,

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

a1b1k + a2×0 + ...+ ar×0   = 0,

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

a1b1l + a2b2l + ...+ ar×0   = 0,

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

a1b1s + a2b2s + ...+ arbrs = 0,

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

a1b1n + a2b2n + ...+ arbrn = 0.

В силу того, что  b1k ¹ 0 , b2l ¹ 0 , ...,   brs ¹ 0  отсюда находим, что  a1 = 0 , a2 = 0 , ..., ar = 0 . Следовательно, система векторов b1, b2, ..., br линейно независима и rangB =r. Поэтому и rangА =r. Теорема доказана.

Из теоремы 2 вытекает метод вычисления ранга матрицы, называемый методом элементарных преобразований. Для того, чтобы вычислить ранг матрицы мы матрицу элементарными преобразованиями и вычеркиванием нулевых строк приводим к ступенчатому виду. Тогда по теореме 2 ранг матрицы равен числу строк в полученной матрице ступенчатого вида.

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

.

Приводим матрицу А элементарными преобразованиями и вычеркиванием нулевых строк к ступенчатому виду

.

5. Теорема о ранге матрицы и следствия и ее. Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров.

Теорема 1 (теорема о ранге матрицы). Ранг ненулевой матрицы равен максимальному порядку отличных от нуля миноров данной матрицы.

Доказательство. Пусть дана ненулевая матрица А размерности m´n. Тогда у этой матрицы есть миноры не равные нуля и среди миноров не равных нулю есть миноры максимального порядка. Через r обозначим наибольший порядок неравного нулю минора. Не нарушая общности будем считать, что ненулевой минор M r-го порядка находится в левом верхнем углу матрицы А (в противном случае строки и столбцы матрицы А можно не меняя ранг матрицы переставить) (см. (1). Тогда

.    (1)                                                  (2)                

Пусть a1, a2, ..., am  - строки матрицы. Первые r строк a1, a2, ..., ar матрицы А линейно независимы. Действительно, если бы они были линейно зависимы, то по свойству 3.1 какая-нибудь из строк a1, a2, ..., ar есть линейная комбинация остальных строк этой системы. Но тогда и в миноре М  соответствующая строка есть линейная комбинация остальных строк минора. Тогда по свойству определителя М = 0, а это противоречит выбору минора М.