Поверхности и кривые второго порядка. Цилиндрические поверхности. Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие

220400                   Алгебра и геометрия                    Толстиков А.В.

Лекции 17. Поверхности и кривые второго порядка

План

1.  Поверхности второго порядка в пространстве R³

2.  Поверхности вращения.

3.  Цилиндрические поверхности.

4.  Конические поверхности.

5.  Эллипсоиды.

6.  Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие.

7.  Эллиптические параболоиды.

8.  Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие.

9.  Классификация кривых второго порядка.

10.  Классификация поверхностей второго порядка.

11. Приведение кривой второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду по методу собственных значений

Рекомендуемая литература

1.  Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3.  Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4.  Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5.  Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

1.  Поверхности второго порядка в пространстве R³

Поверхностью второго порядка в пространстве R³ называется поверхность s, определяемая в системе координат Ox₁x₂x₃ уравнением вида:

.                                                  (1)

где a_ij  =  a_ji, A_i ; i, j = 1,2,…,n i, j = 1,2,…,n, B - заданные постоянные числа, коэффициенты при старших членах не все равны нулю. Старшие члены образуют квадратичную форму

f(x₁, x₂, x₃) =  , называемую квадратичной формой поверхности.

Сначала изучимчастные виды поверхностей второго порядка, а затем рассмотрим преобразование общей поверхности к частным случаям.

2. Поверхности вращения.

Определение 1. Пусть в пространстве дана прямая a  и линия l, которая не лежит в плоскости, перпендикулярной прямой a. Поверхность s, которая получается вращением линии l относительно прямой a, называется поверхностью вращения. Линия l называется образующей поверхности вращения, прямые называется осью вращения.

Поверхность вращения состоит из окружностей, которые получаются вращением точек линии l относительно прямой a, и которые лежат в плоскостях перпендикулярных прямой a, с центрами на прямой a.

Пусть образующая l поверхности вращения s лежит координатной плоскости Oyz, и задана уравнением

f(y,z) = 0, x = 0;                                                     (1)

равнение поверхности вращения линии lотносительно оси Oz:

.                                      (3.2)

Пример 1. Поверхности вращения эллипса относительно оси Oz:

.                                (3.3)

Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения и изображена на рис. 2.

3. Цилиндрические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и вектор s. Цилиндрической поверхностью s с направляющей l и образующими параллельными s называется множество всех точек прямых параллельных вектору s и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей цилиндрической поверхности s, прямые, из которых состоит цилиндрическая поверхность, называются образующими цилиндрической поверхности s.

Пусть направляющая l цилиндрической поверхности s лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy, и задана уравнением

f(x,y) = 0, z = h;                                        (2)

направляющий вектор s = (m,k,n) не параллелен плоскости Oxy, система координат аффинная.. Уравнение цилиндрической поверхности:

.                      (3)

Пример 1. Поверхность, определяемая уравнением

, является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 4).

Поверхность, определяемая уравнением

, является цилиндрической и называется гиперболическим цилиндром (см. рис. 5).

Поверхность, определяемая уравнением

, является цилиндрической и называется параболическим цилиндром (см. рис. 6).

4. Конические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и точка S. Конической поверхностью s с направляющей l и вершиной S называется множество всех точек прямых проходящих через точку S и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей конической поверхностиs, прямые, из которых состоит коническая поверхность, называются образующими конической поверхности s.

Пусть направляющая l конической поверхности s лежит в плоскости