Кинематика движения материальной точки. Динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения энергии

СОДЕРЖАНИЕ

УРОК №1. 1

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. 1

Примеры решения задач. 5

КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. 24

Примеры решения задач. 29

УРОК №2. 39

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. 39

Примеры решения задач. 47

УРОК №3. 85

РАБОТА И МОЩНОСТЬ СИЛЫ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ. 85

Примеры решения задач. 85

УРОК №4. 119

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА. 119

Примеры решения задач. 119

УРОК №1

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

r - (радиус-вектор) задает положение точки в пространстве, зависит от времени. Перемещение: .

S – путь, длина траектории.

 - скорость, направлена по касательной к траектории.

 - единичный вектор касательной к траектории.

.

Средняя скорость в пути .

Средняя скорость перемещения .

Для равномерного () движения (тело движется вдоль прямой):

, , при этом .

Закон сложения скоростей: , где

  - скорость точки относительно условно неподвижной системы отсчета,

- скорость точки относительно системы отсчета, движущейся со скоростью  по отношению к неподвижной.

Относительная скорость двух тел, движущихся со скоростями  и : .

Ускорение , где введены обозначения:

 - тангенциальное (касательное) ускорение, изменяющее величину скорости, и

 - нормальное (центростремительное) ускорение, изменяющее направление скорости.

 - единичный вектор нормали к траектории (перпендикулярен касательной в данной точке).

 - радиус кривизны траектории.

. Величина полного ускорения может быть найдена .

В общем случае: . Для величины скорости:

Равнопеременное движение: .

.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Материальная точка движется по прямой со скоростью  (м/с). Найти среднюю скорость за первые 8 секунд движения.

РЕШЕНИЕ. По определению . Обозначим направление, вдоль которого начинает двигаться точка, за ось x. Понятно, что в условии дана зависимость проекции скорости на эту ось.

Пусть , тогда .

Однако, движение точки будет происходить в положительном направлении оси x () до момента времени  (). После этого момента точка будет двигаться в противоположную сторону (). Поэтому для нахождения пройденного точкой пути за 8 секунд нужно найти:

Таким образом, пройденный точкой путь за первые 8 секунд движения определим:

.

.

ЗАДАЧА 2. Корабль движется вдоль берега со скоростью 18 км/ч, а лодка удаляется от берега под углом 60⁰ к курсу корабля. Определить скорость лодки относительно берега, если ее скорость относительно корабля 18 км/ч. Вычислить угол между направлениями скорости лодки относительно корабля и скорости корабля.

РЕШЕНИЕ. Введем обозначения:

 - скорость корабля относительно берега,

 - скорость лодки относительно берега,

 - скорость лодки относительно корабля.

По закону сложения скоростей: . Построим эти вектора с учетом заданных условий:

, .

Построенный треугольник будет равносторонним, поэтому . Искомый угол между направлениями  и  .

ЗАДАЧА 3. Материальная точка движется в плоскости XY по закону , . Найти траекторию движения и радиус кривизны траектории в начальный момент времени.

РЕШЕНИЕ. Траектория – это кривая, по которой движется точка. Любая кривая в плоскости XY описывается зависимостью . Поэтому из двух заданных уравнений: и  исключим время: .

Итак,  - искомое уравнение траектории.

Векторное соотношение  на плоскости эквивалентно двум скалярным:

 и

.

Поэтому, вектор скорости в любой момент времени запишем как:

, где  - единичные вектора (орты) вдоль осей x и y, соответственно.

Величину скорости в любой момент времени можно найти: .

Радиус кривизны траектории следует искать из соотношения: , учитывая что . В момент времени  , причем направление ее совпадает с осью x, т.к. . Значит,  должно быть направлено вдоль оси y (напомним, ). Поскольку , то . Таким образом, .

ЗАДАЧА 4. Тело брошено под углом 30⁰ к горизонту вниз с высокой башни (h = 5 м) с начальной скоростью 9,8 м/с. Через сколько секунд нормальное ускорение сравняется с тангенциальным и на какой высоте это произойдет?

РЕШЕНИЕ. Для тела, брошенного у поверхности Земли полное ускорение . Поэтому .

В произвольной точке траектории проведем касательную (вдоль нее будут направлены скорость и тангенциальное ускорение) и нормаль (по которой направлено центростремительное ускорение). Разложим вектор полного ускорения  на две составляющие  и  вдоль этих направлений. Если  - это угол между   и , то , .

По условию задачи: , т.е. .

Поскольку угол между скоростью  и горизонтом тот же , а , , то для данной точки траектории , т.к. . Для движения с постоянным ускорением  скорость изменяется по закону: . Вычислим две проекции с учетом выбранного направления осей:  и . Выполним условие:

. Отсюда найдем время: .

При равнопеременном движении с ускорением  радиус-вектор точки зависит от времени: . Спроектируем это уравнение на выбранную ось y: . Подставив в это уравнение найденное время, определим, на какой высоте оказалось тело: