Множества и операции над ними. Отношение принадлежности. Множество. Элемент. Унификация объектов, страница 7

Для  (доопределяется степень элемента), т.е.  (По опр.)

При этом , т.е.  Опр.:

Док-во: по индукции для  по n, как и для степенного отношения.

Если , то  - циклическая группа.

Подгруппа: , т. е для S выполняются свойства замкнутости и свойства группы.

Свойства степеней элемента:

Доопределим

Если

Следствие: В любой группе степени каждого элемента образуют подгруппу.

Пример: 8 - циклическая коммутативная группа.

1.  Рассмотрим произвольный моноид следующего вида (т. е. - ассоциативна, )

- функциональное отношение:

- образ А.

Покажем, что :

, т. к. .

Т. е. F(A) – замкнуто относительно .

 - подмоноид моноида .

6:   6

1).   - функциональность:

2).  - инъективность

3).  - соотношение гомоморфизма, т. к. F инъективна и сюръективна ~, т. е. Любой моноид изоморфен некоторому моноиду преобразований на А.

2.  Теперь будем считать, что  - группа, · - ассоциативна

Рассмотрим то же функциональное отношение:

, 

F – биективно, F – гомоморфное наложение, т. е. F – изоморфизм  и .

В этом случае f_a – биективно

=666

6- биективно

Если f – биективно, то f^-1 – функционально и биективно, причем 6

Покажем, что

Преобразование на множестве А – любое функциональное отношение, т. е.  - множество всех преобразований на А.

Система  - моноид;  e = 6 (6 - функциональное отношение – тоже функция), т. е. композиция функций есть функция; - ассоциативна (см. свойства ).

66                                

Пусть  тогда - подмоноид, если выполняются следующие два условия

1.  6 ;

2.  В замкнуто относительно  в

Рассмотрим произвольный моноид , в котором - ассоциативна и

.

Покажем, что ~, т. е.

  

1.  - функциональность

2.  - инъективность

3. 

4.  - соотношение гомоморфизма

Пусть есть некоторая

Такая функция возможна, т. к.

, т. е. возможна биекция.

Возникает вопрос: как выбрать F, чтобы обеспечить замкнутость В?

Попробуем ответить на него:

 

Покажем, что тогда :

6. - ассоциативна.    

F – инъективна:   пусть       

F – сюръективна (по определению В) т. е. ~.

Подстановка – любое биективное функциональное отношение на А.

- группа, т. е.

· - ассоциативна;

e – нейтральный элемент: ;

Уже доказано, что F – биективно, F – гомоморфное наложение

Покажем теперь, что  биективно :

6имеет место:

66

6- биективно .

Какой вид имеет ? .

Если f – биективно, то f^-1 – функционально и биективно, причем 6; а т. к. в  у каждого элемента единственный обратный, то .

Полезные сведения

Числа классов эквивалентности по изоморфизму в зависимости от числа элементов в группе:

Обратите внимение, что группа простого порядка единственна с точностью до изоморфизма. Доказательства смотрите далее после рассмотрения теоремы Лагранжа.

¨  Упражнение

Используя свойство "каждый элемент в каждой строке и каждом столбце один и только один раз" (следствие сократимости), при фиксированном обозначении для нейтрального элемента получить все заполнения для таблицы групповой операции на четырехэлементном множестве и найти их изоморфизмы.

Например, выбрав во множестве {1,2,3,4} 1 как нейтральный элемент, таблица должна начинаться следующим образом:

*	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	?	?	?
3	3	?	?	?
4	4	?	?	?

Далее будем рассматривать группы:

Пустьподгруппа.

g – элемент G

Опр.:  - левый смежный класс элемента g группы G по группе H