Множества и операции над ними. Отношение принадлежности. Множество. Элемент. Унификация объектов, страница 13

Такая алгебра называется кольцом. В дальнейшем в записи выражений считается, что операция · имеет более высокий приоритет, чем операция + и скобки в правых частях выражений можно опустить.

По свойствам операции · кольца можно разделить на следующие типы:

1.  По существованию нейтрального элемента 1 в алгебре <A,·> можно выделить кольца с единицей ($1ÎA: "xÎA 1·x=x·1=x) и без единицы.

2.  По коммутативности операции · кольца разделяются на коммутативные ("x,yÎA x·y=y·x) и некоммутативные. Эти свойства независимые, поэтому определяют четыре типа колец.

3.  Если для некоторых x,yÎA\{0}: x·y=0, то оба элемента x и y называются делителями нуля. По наличию или отсутствию таких элементов кольца разделяются на кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля. Среди всех возможных комбинаций рассмотренных свойств отдельно рассмотрим следующий случай:

2. Области целостности.

Область целостности это коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля.

Через свойства элементов это можно записать следующим образом:

<A,+,·> - область целостности Û

"x,y,zÎA ;

$0ÎA: "xÎA 0+x=x+0=x;

$1ÎA: "xÎA 1·x=x·1=x

"xÎA $!(-x)ÎA: x+(-x)=(-x)+x=0;

"x,yÎA ;

"x,yÎA\{0} x·y¹0

3. Поля.

Поле - алгебра с двумя операциями, в которой выполняются следующие свойства:

1.  Множество с первой операцией образует коммутативную группу;

2.  Множество, исключая нейтральный элемент, со второй операцией образует коммутативную группу;

3.  Вторая операция дистрибутивна относительно первой.

Через свойства элементов это можно записать следующим образом:

<A,+,·> - поле Û  Û

"x,y,zÎA ;

$0ÎA: "xÎA 0+x=x+0=x;

$1ÎA\{0}: "xÎA\{0} 1·x=x·1=x

"xÎA $!(-x)ÎA: x+(-x)=(-x)+x=0;

"xÎA\{0} $!x^-1ÎA: x·x^-1=x^-1·x=1;

"x,yÎA ;

"x,yÎA\{0} x·yÎA\{0}.

Видно, что это частный случай области целостности.

Таким образом, классификация имеет следующую структуру:

 

Свойства элементов колец 

1.  0·x=x·0=0

Доказательство:

x=x+0ÞÞx·x+x·0=x·x+0Þx·0=0. Используется правило сокращения слева для элемента x·x в алгебре <A,+>. Аналогично доказывается 0·x=0.

2.  -(x·y)=(-x)·y=x·(-y)

Доказательство: Проверяется, что (-x)·y обратный для x·y:

x·y+(-x)·y=(x+(-x))·y=0·y=0. Используется доказанное свойство 1.

Аналогично проверяется, что x·(-y) обратный для x·y. Из единственности обратных следует их совпадение.

3.  В кольце с единицей -x=(-1)·x=x·(-1). Свойство следует из 2.

Конечные области целостности

Свойство: Конечная область целостности является полем.

Доказательство: По определению через свойства элементов, для того, чтобы область целостности была полем, необходима обратимость элементов в A\{0}.

(  a·x=a·y, aÎA\{0}Þ a·x-a·y=0Þ a·(x-y)=0Þ x-y=0Þ x=y  ) Þ a - сократимый слева.

В конечных моноидах из сократимости следует обратимость. Þ

"xÎA\{0} $!x^-1ÎA: x·x^-1=x^-1·x=1

Остальные свойства элементов в определениях поля и области целостности совпадают.

2. Идеалы и факторкольца.

Идеалы

<A,+,·> - кольцо с единицей. Множество IÌA называется идеалом кольца с единицей, если выполнены условия:

1.  "x,yÎI  x+yÎI

2.  "xÎI "yÎA  x·yÎI, y·xÎI

Отношение сравнимости

Элементы a,b кольца <A,+,·> называются сравнимыми по модулю идеала I, если a-bÎI.

Это есть бинарное отношение на множестве A. Обозначение в инфиксной форме aº_Ib:

aº_IbÛ a-bÎI

Это отношение будет отношением эквивалентности.

Доказательство:

1)  Рефлексивность: "xÎI 0·xÎI Þ 0ÎI Þ "aÎA a-a=0ÎI Þ "aÎA aº_Ia.

2)  Симметричность: aº_Ib Þ a-bÎI Þ (-1)·(a-b)ÎI Þ b-aÎI Þ bº_Ia.

3)  Транзитивность: Þ a-bÎI, b-cÎI Þ (a-b)+(b-c)=a-cÎI. Þ aº_Ic.

Классы вычетов

По отношению  сравнимости для произвольно взятого элемента можно построить класс эквивалентности (множество элементов, находящихся в отношении сравнимости с выбранным), называемый классом вычетов элемента x по модулю идеала I: