Математика \ Математический анализ

Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі

Страницы работы

35 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

2. ЛІМІТЫ І НЕПАРЫЎНАСЦЬ

2.1. ЛІКАВЫЯ ФУНКЦЫІ І ПАСЛЯДОЎНАСЦІ

Няхай зададзена лікавае мноства , і кожнаму паводле некаторага правіла ставіцца ў адпаведнасць адзін лік . Тады гавораць, што на мностве вызначана лікавая функцыя (або проста функцыя) і пішуць .

Зменную х называюць незалежнай зменнай або аргументам функцыі, мноства – абсягам вызначэння функцыі . Для абазначэння абсягу вызначэння і мноства значэнняў функцыі карыстаюцца адпаведна сімваламі і .

Калі кожнаму натуральнаму ліку (нумару) ставіцца ў адпаведнасць лік , то гавораць, што зададзена лікавая паслядоўнасць або, карацей, паслядоўнасць . Інакш кажучы, паслядоўнасцю называюць функцыю, зададзеную на мностве натуральных лікаў. Лік называюць n-ым элементам паслядоўнасці. Паслядоўнасць можа быць зададзена формулай агульнага элемента ; рэкурэнтнай формулай, напрыклад ; іншымі спосабамі.

ЗАДАЧЫ

2.1. Няхай зададзена функцыя . Знайдзіце і дакажыце, што гэтыя лікі ўтвараюць арыфметычную прагрэ-сію.

2.2. Знайдзіце f(0), f(x) + 2, f(x+ 2), f(), 1/f(x), калі: 1) f(x) = ; 2) f(x) = x– 2x+ 2.

2.3. Знайдзіце f(x), калі: 1) f(x+ 1)=2 x+ 3; 2) f() = .

2.4. Зададзена функцыя Дырыхле D(x) = 1) Знайдзіце D(3/4), D(), D(log8). 2) Дакажыце, што D(x+ ) = D(x) для любых цэлых p і q.

2.5. Функцыя sgn x (чытаецца сігнум ікс) задаецца формулай sgn x= . 1) Дакажыце, што xsgn x= . 2) Знайдзіце sgn x пры x= sin, x= sin, x= sin.

2.6. Зададзена функцыя Хэвісайда η(x)= Знайдзіце: 1) η(х – а); 2) η(х – а)+η(х – b).

2.7. Няхай зададзены чатыры лікі х, х, y, y, прычым . Праверце, што функцыя P(x)= з’яўляецца мнага-складам не вышэй чым першай ступені і задавальняе ўмовы P(x) = y, P(x) = y.

2.8. Няхай зададзены тры розныя лікі х, х, х і любыя лікі у, у, у. Праверце, што функцыя P(x)= з’яўляецца мнагаскладам не вышэй, чым другой ступені, прычым P(x) = y, P(x) = y, P(x) = y.

2.9. Знайдзіце мнагасклад Р(х) ступені не вышэй за n, які задавальняе ўмовы P(x) = y, P(x) = y, …, P(x) = y, дзе х, у, – любыя зададзеныя лікі, прычым xx, калі ij. ( Р(х) у такім выпадку называюць інтэрпаляцыйным мнагаскладам.)

2.10. Дакажыце, што функцыя f(x)= задавальняе ўмовы: 1) = – f(x); 2) x= 1.

2.11. Знайдзіце абсяг вызначэння наступных функцый: 1) f(x) = ; 2) f(x) = ; 3) f(x) = ; 4) f(x) = (a); 5) f(x) = ; 6) f(x) = ; 7) f(x) = lg(); 8) f(x) = arcsin(1–х); 9) f(x) = .

2.12. Прывядзіце прыклад функцый f(x) і g(x), зададзеных формуламі, у якіх: 1) D(f) = за выключэннем пунктаў х = 0, х = 1, х =2; 2)D(g) = [c; d], дзе a<b<c.

2.13. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: 1) f(x) = 2x–4, x[–2, 2]; 2) f(x) = , x[0, 3]; 3) = 2x+ sgnx, x; 4) = x, x[–2, 1]; 5) f(x) = x+, x(0, +).

2.14. Знайдзіце φ(f(x)) і f(φ(x)) , ці кампазіцыі φf і fφ, калі: 1) φ(x) = x, f(x) = 10; 2) φ(x) = f(x) = 2x+ 1.

2.15. Няхай , , . Запішыце формулы, якія задаюць кампазіцыі: 1) fgφ; 2) gφf ; 3) φgf .

2.16. Няхай (n-кампазіцый). Знайдзіце f(x), f(x) і f(x) калі: 1)f(x) = ; 2) f(x) = 2x+ 1; 3) f(x) = ax+ b.

2.17. Зададзена функцыя f(x). Ці заўсёды існуюць дзве такія функцыі φ(x) і g(x) (φ(x)x, g(x)x), што f(x) = φ(g(x)) ?

2.18. Знайдзіце абсяг вызначэння складанай функцыі f(g(x)), калі: 1) f(x) = lg x, g(x) = sin x; 2) f(x) = sin x, g(x) = lg x.

2.19. Пабудуйце графікі функцый:

1) y= x+ 2; 2) y= ; 3) y= 2x– 3x; 4) y=; 5) y= ; 6) y= ; 7) y= x+ ; 8) y= sinax, а = 1; 2; , 0 x 2; 9)y=sgn(x–4); 10) y= sgn(sinx); 11) y= , дзе – цэлая частка x; 12) y= , дзе – дробная частка x; 13) y= cosx+ .