Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 5

2.83.  Дакажыце, што паслядоўнасць  будзе збежнай, калі збягаюцца наступныя яе падпаслядоўнасці:

2.84.  Пабудуйце прыклад паслядоўнасці, якая мае сваімі частковымі лімітамі дадзеныя лікі: .

2.85.  Знайдзіце ўсе лімітавыя пункты паслядоўнасці .

2.86.  Дакажыце, што манатонная паслядоўнасць збягаецца, калі і толькі калі збягаецца хоця б адна яе падпаслядоўнасць.

2.87.  Знайдзіце  (найбольшы частковы ліміт) і  (найменшы частковы ліміт),  калі

2.88.  Карыстаючыся азначэннем, дакажыце фундаментальнасць пасля-доўнасці :   1) ;   2) 

2.89.  Дакажыце збежнасць паслядоўнасці () з дапамогай крытэра Кашы, калі: 1) ;    2) ; 3)  

2.90.  Сфармулюйце ў дадатным сэнсе сцверджанне, што дадзеная пасля-доўнасць не адпавядае ўмовам крытэра Кашы. Карыстаючыся гэтай фармулёўкай, дакажыце разбежнасць наступных паслядоўнасцяў: 1) ;  2) ;  3) .

2.91.  Няхай  – дадзены лік. Знайдзіце: 1)  дзе цэлая частка ліку ;    2)  

2.92.  Знайдзіце ліміты наступных паслядоўнасцяў: 1) ;   2) ;          3) ;   4) ;   5) 

2.93.  Дакажыце: 1)  калі ; 2) , калі .

2.94.  Няхай . Знайдзіце:   1) ;   2) ;   3) .

2.95.  Няхай  (натуральны лік). Знайдзіце  калі: 1) ;             2) ;      3) ; 4) ;   5) 

2.96.  З дапамогай крытэра Кашы дакажыце, што калі паслядоўнасць  збягаецца, то  Ці праўдзівае адваротнае сцверджанне?

2.97.  Няхай усе элементы паслядоўнасці () з’яўляюцца цэлымі лікамі. Дакажыце, што паслядоўнасць () збягаецца, калі і толькі калі яна фінальна сталая. (гл. задачу 2.47).

2.98.  Дакажыце, што з умовы  вынікае  Прывядзіце прыклад, калі адваротнае сцверджанне не выконваецца.

2.99.  Дакажыце, што калі для адвольнай збежнай да ліміту  паслядоўнасці () існуе ліміт паслядоўнасці значэнняў функцыі (()), то  не залежыць ад выбару ().

2.100. Дакажыце збежнасць і знайдзіце ліміт паслядоўнасці (), зада-дзенай рэкурэнтнай формулай  ().

2.101.  Няхай паслядоўнасць () вызначаецца рэкурэнтным судачы-неннем , дзе натуральны лік ,  любы дадатны лік, . Дакажыце, што

2.102. Ці праўдзівыя наступныя сцверджанні: 1) калі  то ;  2) калі  то ?

2.103. Дакажыце наступную дастатковую ўмову збежнасці паслядоўнасці (прыкмета Д’Алямбэра): няхай элементы паслядоўнасці  і  Тады: 1) калі  то ;  2) калі  то    Што можна сцвярджаць у выпадку  ?

2.104. З дапамогай прыкметы Д’Алямбэра (задача 2.103) дакажыце, што: 1) ;    2) 

2.105. Дакажыце наступнае сцверджанне: калі  і  то  Карыстаючыся папярэднім сцверджаннем, знайдзіце: 1) ;   2) ;   3) 

2.106. Разгледзім паслядоўнасць () даўжыняў ламаных, азначаную ў задачы 2.27. Пры адвольным , як вынікае з задачы 2.27 ,  Але пры  ламаныя, відавочна, імкнуцца да гіпатэнузы трох-вугольніка. Такім чынам,  дзе даўжыня гіпатэ-нузы. Мы атрымалі, што даўжыня гіпатэнузы роўна суме даўжыняў катэтаў трохвугольніка?!? Знайдзіце памылку ў разважанні.

2.107. Разгледзім паслядоўнасць  даўжыняў крывых, азначаную ў задачы 2.26. Пры  гэтыя крывыя відавочна імкнуцца да адрэзка . Такім чынам,  г. зн. ?! Знайдзіце памылку ў разважанні.

2.108. Дакажыце, што  грунтуючыся на тым, што даўжыня акружыны роўна ліміту перыметраў умежаных у яе правільных вугольнікаў пры

2.109. Разгледзім паслядоўнасць камплексных лікаў  Пасля-доўнасць () называюць збежнай да ліміту  калі  Дакажыце, што ўмовы  і  з’яўля-юцца неабходнымі і дастатковымі ўмовамі таго, каб

2.110. Даследуйце збежнасць паслядоўнасці () і знайдзіце ліміт, калі ён існуе: 1) ;       2) ;           3) ;  4) ;  5)