2.111.
З дапамогай крытэра Кашы дакажыце наступнае
сцверджанне: для таго каб камплексная паслядоўнасць () была збежнай,
неабходна і дастаткова, каб яна была фундаментальнай.
2.3. ЛІМІТ ФУНКЦЫІ.
Няхай вызначана ў працятым
ваколлі пункта
. Лік
называ-ецца лімітам
функцыі
у пункце
(
), калі
:
,
(азначэнне
паводле Кашы).
Прыведзенае
азначэнне раўназначнае наступнаму: калі
для адвольнай паслядоўнасці (
),
, збежнай да
, мае месца
роўнасць
(азначэнне
паводле Гайнэ).
Калі ў
азначэнні Кашы няроўнасць замяніць
няроўнасцямі
або
то лік
называюць
адпаведна правабаковым або левабаковым лімітам
функцыі
у пункце
. Для
аднабаковых лімітаў выкарыстоўваюць адпаведна абазначэнні:
і
або
і
.
Запіс азначае:
:
,
.
Грунтоўныя
ліміты:
Тэарэма 1. Калі ,
то: а)
; б)
; в)
Тэарэма 2. Калі ў некаторым ваколлі пункта
і
тады і
Тэарэма 3
(пра ліміт складанай функцыі). Няхай існуюць (
калі
і
, тады існуе
ліміт складанай функцыі
пры
, прычым
Апошняя
тэарэма дазваляе пры вылічэнні лімітаў пераходзіць ад зменнай да новай
зменнай
дзе
.
►Для
таго каб даказаць, што ,
зыходзячы з азначэння Кашы, звычайна дзейнічаюць наступным чынам: разглядаюць
велічыню
і ацэньваюць
яе зверху, імкнучыся атрымаць ацэнку выгляду
(
канстанта).
(2.1)
Пры гэтым, паколькі ў
азначэнні ліміту дастаткова ўказаць не абавязкова максімальнае значэнне , то звычайна
абмяжоўваюць
зверху, да
прыкладу, лічаць
, г. зн.
няроўнасць (2.1) разглядаюць толькі для
Калі цяпер узяць
то для ўсіх
атрымаем:
У
разгляданым прыкладзе будзем лічыць г.зн.
будзем браць
З такіх
меркаванняў маем:
Тады
дастаткова
ўзяць
, каб
,
атрымаць
што і
патрабавалася.
Можна скарыстаць і другое
азначэнне ліміту функцыі. Возьмем ,
Патрэбна
даказаць, што
Сапраўды, ◄
►Для
доказу неіснавання ліміту зручна карыстацца азначэннем Гайнэ. У адпаведнасці з
ім дастаткова пабудаваць паслядоўнасць (),збежную да
,
, для якой (
) разбягаецца,
або знайсці дзве паслядоўнасці
і
, збежныя да
, такія, што
адпаведныя паслядоўнасці значэнняў функцыі
і
маюць розныя
ліміты. У дадзеным прыкладзе дастаткова знайсці
, збежную да
нуля,
і такую, што
паслядоўнасць
разбягаецца.
Паслядоўнасць
задавальняе
патрэбныя ўмовы, а адпаведная паслядоўнасць значэнняў функцыі
відавочна
разбягаецца. Адсюль вынікае, што
не
існуе. ◄
►Паколькі то мы маем
нявызнача-насць тыпу
.
Пры раскрыцці такіх нявызначасцяў, а таксама нявыз-начасцяў тыпу
,
, выкарыстоўваюць
тыя ж метады, што і ў ана-лагічных абставінах для паслядоўнасцяў. Істотна, што
пры разглядзе ліміту функцыі пры
аргумент
не набывае
значэння
. Тады мы можам
скараціць дроб на
і
атрымаць
. ◄
►Калі
ўзяць , а
то атрымаем
Паколькі
прычым
для
то на падставе
тэарэмы пра ліміт складанай функцыі маем:
(скарысталі
першы грунтоўны ліміт ). ◄
2.112.
Сфармулюйце азначэнні (паводле Кашы і Гайнэ) ў дадатным
сэнсе наступнага сцверджання:
2.113. Карыстаючыся азначэннем Гайнэ, дакажыце тэарэму пра ліміт сумы, розніцы, здабытку, дзелі дзвюх функцый.
2.114. 1) Дакажыце, што калі , то
2) Ці выконваецца адваротнае сцверджанне ?
2.115. Дадзены функцыя і
лікі
і
. Для
адвольнага
знайдзі-це
найбольшы
каб для ўсіх
, што
задавальняюць умову
, праўдзілася
няроўнасць
:
1)
; 2)
2.116. Карыстаючыся азначэннем Кашы, дакажыце, што:
1) ; 2)
2.117. Знайдзіце наступныя ліміты, карыстаючыся азначэннем Гайнэ і
ўласцівасцямі паслядоўнасцяў:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.