Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 3

    Прыклад 2. Даказаць, што , карыстаючыся азначэннем ліміту паслядоўнасці.

► Возьмем . Патрэбна знайсці , каб  выконвалася няроўнасць . Паколькі ў азначэнні ліміта дастаткова ўказаць хоця б адзін , не абавязкова найменшы, то дакладнае развязанне гэтай няроўнасці не патрабуецца. Відавочна, што . Калі  (для гэтага трэба ўзяць ), то і , г. зн.  : , што і патрабавалася. Заўважым, што  знойдзены з “вялікім запасам”. ◄

    Прыклад 3. Няхай   і   Даказаць, што  для адвольнага натуральнага .

►Паколькі  , то  Атрымалі, што пасля-доўнасць  адпавядае ўмовам , дзе  а . Відавочна, што  і  Тады, паводле тэарэмы пра сціснутую паслядоўнасць  ◄

ЗАДАЧЫ

2.44.  Карыстаючыся азначэннем ліміту паслядоўнасці, дакажыце, што: 1) ;             2) ;     3) ; 4) ;     5) ;     6) .

2.45.  1) Для кожнага дадзенага  знайдзіце , каб для адвольнага  выконвалася няроўнасць . Запоўніце табліцу:

2) Дакажыце, што .

2.46.  Няхай  Дакажыце, што  вызначаючы для кожнага  такі  што  калі  Запоўніце табліцу:

2.47.  Паслядоўнасць  называюць фінальна сталай, калі існуе канстанта  і нумар  такія, што  для ўсіх . Дакажыце,што фінальна сталая паслядоўнасць з’яўляецца збежнай. Чаму роўны яе ліміт ?

2.48.  Няхай . Дакажыце, што  дзе   – фіксаваны натуральны лік, іншымі словамі, адкіданне або далучэнне канечнай колькасці элементаў збежнай паслядоўнасці не змяняе яе ліміту.

2.49.  Дакажыце, што калі , то  Ці заўсёды выконваецца адваротнае сцверджанне?

2.50.  Ці эквівалентнае азначэнне ліміту паслядоўнасці () такім азначэнням: 1)   : ;                       2)     ;                       3)   : ?

2.51.  Няхай паслядоўнасць  і лік  адпавядаюць умове:  такі, што  і . Ці ўсякая збежная да  паслядоў-насць задавальняе гэту ўмову?

2.52.  Дакажыце, што ліміт збежнай паслядоўнасці не залежыць ад парадку яе элементаў, г. зн. калі ў збежнай паслядоўнасці адвольна змяніць парадак элементаў, то атрыманая паслядоўнасць будзе таксама збежнай і мець той самы ліміт, што і зыходная паслядоўнасць.

2.53.  Прывядзіце азначэнне ў дадатным сэнсе (не выкарыстоўваючы ад-моў’е) сцверджання таго, што лік  не з’яўляецца лімітам паслядоў-насці. Дакажыце, што , калі:             1) ;          2) .

2.54.  Сфармулюйце ў дадатным сэнсе азначэнне таго, што паслядоўнасць разбягаецца. Дакажыце разбежнасць паслядоўнасцяў () 1) ;     2) ; 3) .

2.55.  Дакажыце, што наступныя паслядоўнасці з’яўляюцца бясконца малымі  1) ;    2)  (); 3) , дзе – я лічба ліку ;              4) ;        5) .

2.56.  Няхай – бясконца малая паслядоўнасць і  . Дакажыце, што паслядоўнасць  дзе  будзе таксама бясконца малой.

2.57.  Дакажыце, што:   1) ;  2) ;                       3)  ; 4) ; 5)  калі ; 6)  калі .

2.58.  Ці праўдзівыя сцверджанні: 1) усякая бясконца вялікая паслядоў-насць з’яўляецца неабмежаванай; 2) усякая неабмежаваная пасля-доўнасць з’яўляецца бясконца вялікай?

2.59.  Карыстаючыся тэарэмай 1, знайдзіце ліміт паслядоўнасці: 1) ;        2) ; 3) ;   4) .

2.60.  Раскрыйце нявызначанасць  (г. зн. знайдзіце ліміт паслядоўна-сці ) шляхам папярэдняга дзялення лічніка і назоўніка дробу на адпаведную ступень  або :