Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 10

2.168.  Падайце прыклады бясконца вялікіх пры  функцый, якія задавальняюць умовы папярэдняй задачы.

2.169.  Вызначце парадак бясконца малых функцый пры : 1) ;                      2) ; 3) ;                       4) ; 5) ; 6) ; 7) .

2.170.  Вызначце парадак бясконца вялікіх функцый : 1) ; 2) ; 3) ;            4) ; 5) ;            6) .

2.171.  Падайце прыклады функцый , для якіх выконваюцца сцверджанні: 1) ;   2) ; 3) ;  4) .

2.172.  Няхай функцыя  і  пры . Вызначце, якія з наступных функцый будуць бясконца малымі пры  больш высокага парадку, чым : 1) ;          2) ;         3) ;       4) ;     5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

2.173.  Ці выконваецца роўнасць  пры , калі: 1) ;  2) ; 3) ;  4) .

2.174.  Няхай  пры . Дакажыце, што: 1);             2); 3); 4); 5);                  6); 7)    ( – любыя лікі).

2.175.  Няхай  і  – натуральныя лікі, прычым . Дакажыце, што пры : 1) ;    2) ; 3) ;  4) .

2.176.  Дакажыце, што: 1) ;    2) ; 3) ;      4) ; 5) ;  6) .

2.177.  Няхай  і . Дакажыце, што: 1)   2) .

2.178.  Дакажыце, што пры дастаткова вялікім  маюць месца няроўна-сці: 1) ;  2) ; 3) .

2.179.  Якія з наступных бясконца малых функцый эквівалентныя бясконца малой : 1) ;               2) ;          3) ;   4) ; 5) ;  6) ;  7) ?

2.180.  Няхай  пры . Выберыце з пададзеных ніжэй функцый пары бясконца малых, эквівалентных паміж сабой: 1) ;       2) ;     3) ;   4) ;     5) ;  6) ;   7) ;    8) .

2.181.  Дакажыце крытэр эквівалентнасці:  пры  калі і толькі калі .

2.182.  Дакажыце сцверджанні: 1) калі  пры  і , то  пры ; 2) калі  пры  і , то  пры .

2.183.  Няхай . Дакажыце, што: 1) ;  2) ;    3) .

2.184.  Знайдзіце, пры якіх значэннях  і функцыі  і  будуць эквівалентнымі: 1) ; 2) ; 3); 4).

2.185.  Дакажыце сцверджанне: калі ,   пры  і існуе , то існуе , прычым гэтыя ліміты роўныя паміж сабой (іншымі словамі, пры знаходжанні  ліміту дзелі лічнік і назоўнік можна замяніць эквівалентнымі функцы-ямі).

2.186.  Няхай  пры . Ці можна ў ліміце  замяніць  на , г. зн. сцвярджаць, што  Улічваючы, што пры  функцыі  і  ёсць эквівалентныя, раз-гледзьце прыклады: а) ,         б) .

2.187.  Знайдзіце памылку ў наступным сцверджанні: калі  пры  і існуе , то гэты ліміт заўсёды роўны нулю, паколькі  (параўнайце з задачай 2.186. б)).

2.188.  Дакажыце наступныя асімптатычныя формулы пры : 1) ;              2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;             7) .

2.189.  Атрымайце асімптатычныя формулы пры  з рэшткавым складнікам тыпу   для наступных функцый: 1) ;         2) ;    3) ; 4) ; 5) ;   6) ;  7) ;         8) .

2.190.  Запішыце асімптатычныя формулы пры  з рэшткавым складнікам тыпу  для наступных функцый: 1); 2); 3); 4).

2.191.  Знайдзіце ліміты: 1);              2) ; 3) ;          4) ; 5) ; 6) ; 7) ;  8) , дзе ; 9) .

2.192.  Знайдзіце ліміты: 1) ;         2) ;  3) ;  4) .

2.193.  Лік  называюць частковым лімітам функцыі  пры , калі існуе паслядоўнасць , такая, што  і . Аналагічна вызначаюць бясконцыя частковыя лімі-ты. Знайдзіце ўсе частковыя ліміты функцыі  пры .

2.194.  Найбольшы (найменшы) частковы ліміт функцыі  пры  называюць верхнім ( ніжнім ) лімітам  і абазначаюць . Знайдзіце: 1) ;  2) ;  3) ;  4) .

2.195.  Дакажыце, што для існавання ліміта  неабходна і дастаткова, каб  .