Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 2

2.26.  Адрэзак [0, a] падзелены на n роўных частак. На кожнай частцы як на дыяметры пабудавана паўакружына. Запішыце паслядоўнасць () даўжыняў крывых, складзеных з гэтых паўакружынаў.

2.27.  У прамавугольным трохвугольніку, катэты якога роўныя адпаведна a і b, гіпатэнуза падзелена на n роўных частак. З пунктаў падзелу праведзены прамыя, паралельныя катэтам. Пры гэтым атрымліва-ецца ламаная. Знайдзіце паслядоўнасць даўжыняў гэтых ламаных.

2.28.  У роўнастаронні трохвугольнік са стараной а умежана акружына, да якой праведзена датычная, паралельная аснове. Гэтая датычная зноў адсякае правільны трохвугольнік, у які ўмежана другая акружына і г. д. Запішыце агульны элемент паслядоўнасці радыусаў () акружынаў, пабудаваных такім чынам.

2.29.  Знайдзіце формулу агульнага элемента паслядоўнасцяў, зададзеных рэкурэнтным спосабам : 1) , ; 2) , , ;  3) , , .

2.30.  Пакажыце, што для паслядоўнасці Фібаначы 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... або , , n, формула агульнага элемента мае выгляд: .

2.31.  1) Дакажыце сцверджанне Эўкліда, што простыя лікі, размешчаныя ў парадку нарастання, утвараюць бясконцую паслядоўнасць. 2) Паспрабуйце атрымаць формулу агульнага элемента гэтай паслядоўнасці.

2.32.  Дайце азначэнне абмежаванай паслядоўнасці (абмежаванай зверху, абмежаванай знізу). Якая геаметрычная інтэрпрэтацыя гэтага азначэння?

2.33.  Прывядзіце азначэнне ў дадатным сэнсе неабмежаванай паслядоўнасці. Які геаметрычны сэнс гэтага азначэння?

2.34.  Вызначце, якія з прыведзеных ніжэй паслядоўнасцяў 1) ;    2) ;    3) ;    4) ; 5) ;    6) ;   7)  а) абмежаваныя зверху, б) абмежаваныя знізу?

2.35.  Няхай паслядоўнасць () абмежаваная. Ці заўсёды абмежаваная паслядоўнасць (), калі: 1) ;  2) ;  3) ;  4) ;  5) ?

2.36.  Зададзена неабмежаваная паслядоўнасць (). Ці заўсёды неабмежаваная паслядоўнасць (), пададзеная ў задачы 2.35?

2.37.  Дакажыце, што з абмежаванасці паслядоўнасцяў () і () вынікае абмежаванасць іх сумы і здабытку.

2.38.  Няхай паслядоўнасці () і () абмежаваныя, прычым . Ці заўсёды паслядоўнасць () таксама абмежаваная ?

2.39.  Дакажыце неабмежаванасць паслядоўнасцяў: 1) ;        2) ;        3) ;     4) ;     5) .

2.40.  Дакажыце, што наступныя паслядоўнасці абмежаваныя: 1) ;  2) ; 3) ;                            4) .

2.41.  Пакажыце, што калі паслядоўнасць (), дзе , абмежаваная, то і паслядоўнасць () абмежаваная. Ці праўдзівае адваротнае сцверджанне?

2.42.  Знайдзіце дакладныя верхнюю і ніжнюю межы наступных паслядоўнасцяў: 1) ;    2) .

2.43.  Вядома, што , а . Знайдзіце дакладныя верхнюю і ніжнюю межы паслядоўнасці (), калі

2.2. ЛІМІТ ПАСЛЯДОЎНАСЦІ

Лік  называецца лімітампаслядоўнасці  (абазначэнне:  або ), калі  > 0 :  >  < . Паслядоў-насць, якая мае ліміт, называецца збежнай, у адваротным выпадку – разбежнай. Паслядоўнасць () называюць бясконца вялікай, (абазначэнне: ), калі  > 0 :  > >.

    Тэарэма 1. Няхай , . Тады 1) ;  2) , ();  3) .

    Тэарэма 2. (пра сціснутую паслядоўнасць). Калі, пачынаючы з некаторага нумару,  і  = = а  , то . 

    Тэарэма 3. Калі паслядоўнасць () манатонная і абмежаваная, то яна збежная.

    Лік e:   .

    Крытэр Кашы. Для таго каб паслядоўнасць  збягалася, неабходна і дастаткова, каб яна была фундаментальнай, г. зн.  : , .

    Прыклад 1. Карыстаючыся азначэннем ліміту паслядоўнасці, дака-заць, што .

►Разгледзім . У адпаведнасці з азначэннем ліміту мы павінны для адвольнага  знайсці , каб  праўдзілася няроўнасць  Калі развязаць гэтую няроўнасць у дачыненні да , то атрымаем , г.зн. , што ў якасці  можна ўзяць  Такім чынам,  : , што і патрабавалася. ◄