Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 8

Прыклад 2. Знайсці .

►На гэтым прыкладзе мы праілюструем выкарыстанне непарыўнасці пры знаходжанні лімітаў. Паколькі  і  (грунтоўны ліміт), то, выкарыстоўваючы непарыўнасць функцыі  у пункце , маем права памяняць месцамі сімвалы  і  Атрымаем: .◄

Заўважым, што знаходжанне гэтага ліміту без скарыстання непарыўнасці лагарыфмічнай функцыі прыводзіць да складаных выкладак.

Прыклад 3. Даказаць раўнамерную непарыўнасць на адрэзку  функцыі .

►Заўважым, па-першае, што раўнамерная непарыўнасць гэтай функ-цыі вынікае з тэарэмы Кантара і непарыўнасці  на адрэзку . Мы правядзем доказ, карыстаючыся толькі азначэннем раўнамернай непарыўнасці. Для гэтага возьмем любое  і разгледзім адвольныя пункты . Маем:

. Паколькі , то  і , а таму . З апошняй няроў-насці вынікае, што >0 дастаткова ўзяць , каб  выкон-валася няроўнасць . А гэта і азначае, што  раўнамерна непарыўная на .◄

ЗАДАЧЫ

2.131.  Сфармулюйце азначэнне непарыўнасці функцыі  у пункце , карыстаючыся азначэннем ліміту функцыі паводле Гайнэ.

2.132.  Няхай функцыя  вызначана ў некаторым ваколлі пункта . Сфармулюйце ў дадатным сэнсе сцверджанне, што  не з’яўляецца непарыўнай у пункце .

2.133.  Карыстаючыся азначэннем Кашы, дакажыце непарыўнасць функцыі  у кожным пункце , калі: 1)      2)  3)  4) .

2.134.  Дакажыце, што з непарыўнасці функцыі  у пункце  вынікае непарыўнасць у гэтым пункце функцыі .

2.135.  Даследуйце на непарыўнасць, знайдзіце пункты разрыву і пабу-дуйце графікі наступных функцый: 1) ; 2) ; 3)                         4) .

2.136.  Вызначце тып пунктаў разрыву функцыі , калі: 1) ; 2)  3)  4)   5)   6) ; 7)  8) ; 9) . 

2.137.  Карыстаючыся непарыўнасцю элементарных функцый, дакажыце: 1) ;     2) ; 3) ; 4) ;    5) .

2.138.  Як патрэбна давызначыць функцыю  у пункце , каб яна была непарыўнай у гэтым пункце, калі: 1)    2)  3)   4)  5)  6)  7) ?

2.139.  Няхай функцыя  непарыўная ў пункце  і  . Знайдзіце .

2.140.  Няхай функцыя  непарыўная ў пункце  і  . Знайдзіце .

2.141.  Дакажыце, што функцыя Дырыхле з’яўляецца ўсюды разрыўнай.

2.142.  Ці мае функцыя                            пункты непарыўнасці? Колькі такіх пунктаў?

2.143.  Пабудуйце дзве функцыі, якія маюць разрыў у пункце , а іх сума і здабытак непарыўныя ў гэтым пункце.

2.144.  Дакажыце, што калі сума дзвюх разрыўных у пункце  функцый з’яўляецца непарыўнай у гэтым пункце, то абедзве функцыі маюць у пункце  разрыў аднаго і таго ж тыпу. Ці выконваецца аналагічнае сцверджанне для здабытку дзвюх функцый?

2.145.  Ці могуць дзве непарыўныя на адрэзку  функцыі адрознівацца толькі ў адным пункце гэтага адрэзка?

2.146.  Дакажыце, што калі функцыі  і  непарыўныя на  і ў рацыянальных пунктах гэтага адрэзка іх значэнні супадаюць, то  для ўсіх .

2.147.  Даследуйце на непарыўнасць і пабудуйце графікі функцый , калі: 1) ;     2) ; 3) ;  4) .

2.148.  Падайце прыклад функцыі, непарыўнай на інтэрвале , якая неабмежаваная на ім: а) зверху;   б) знізу;   в) зверху і знізу.

2.149.  Пабудуйце прыклад функцыі, вызначанай на адрэзку , і не аб-межаванай на гэтым адрэзку:   а) зверху;   б) знізу. Ці можа такая функцыя быць непарыўнай на ?

2.150.  Падайце прыклад абмежаванай і непарыўнай на інтэрвале  функцыі, якая на гэтым інтэрвале: а) не дасягае сваёй дакладнай верхняй мяжы , але дасягае дакладнай ніжняй мяжы ; б) дасягае , але не дасягае  в) не дасягае  і

2.151.  Знайдзіце дакладныя межы функцыі  на мностве , калі: 1) ; 2) ; 3) .