Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 4

2.61.  Дакажыце, што паслядоўнасць    збягаецца да ліміту , калі .

2.62.  Знайдзіце  ліміты  наступных  ірацыянальных выразаў, выкарыстоў-ваючы  прыём  перавядзення  ірацыянальнасці  з  назоўніка ў лічнік або з лічніка ў назоўнік: 1) ;         2) ; 3) ;             4) ; 5) ;    6) 

2.63.  Няхай  паслядоўнасць  збягаецца, а паслядоўнасць  разбя-гаецца. 1) Дакажыце, што іх сума () будзе разбягацца. 2) Што можна сцвярджаць пра збежнасць паслядоўнасці ? Прывядзіце адпаведныя прыклады.

2.64.  Прывядзіце прыклады разбежных паслядоўнасцяў () і (), для якіх збягаецца паслядоўнасць: 1) ;   2) ;   3) ;   4) .   

2.65.  1) Дакажыце, што =1. 2) Чаму пры вылічэнні гэтага ліміту нельга карыстацца тэарэмай пра ліміт сумы паслядоўнасцяў г. зн. ?

2.66.  1) Дакажыце, што  выкарыстоўваючы няроўнасць . 2) Абагульніце атрыманы вынік, устанавіў-шы, што  для адвольнага .

2.67.  Скарыстаўшы вынік папярэдняй задачы, дакажыце, што                                         

2.68.  Устанавіце праўдзівасць наступных роўнасцяў: 1) ;   2) ;          3) ;     4) ;  5) .

2.69.  Знайдзіце ліміты паслядоўнасцяў , калі: 1) ; 2) ; 3) , дзе  ёсць мнагасклад ступені , прычым ; 4) ; 5) ; 6)  дзе дадатныя лікі; 7) ; 8) .

2.70.  1) Карыстаючыся тэарэмай пра існаванне ліміту манатоннай пасля-доўнасці, дакажыце збежнасць паслядоўнасці . 2) Знайдзіце ліміт гэтай паслядоўнасці, зыходзячы з рэкурэнтнага судачынення .

2.71.  Шляхам, апісаным у задачы 2.70, спачатку ўстанавіце збежнасць, а потым знайдзіце ліміт паслядоўнасцяў: 1) ;                      2) ;     3) ; 4) ; 5) .

2.72.  Праверце, што метад знаходжання  шляхам пераходу да ліміту ў рэкурэнтным судачыненні,  як  гэта рабілася ў папярэдняй задачы, не заўсёды вядзе да мэты. Разгледзьце прыклад:                               

2.73.  Дакажыце збежнасць наступных манатонных паслядоўнасцяў: 1) ;               2) ; 3) ;   4) ; 5) ;      6)  дзе абмежаваная паслядоўнасць з дадатнымі элементамі.

2.74.  Знайдзіце: 1);   2) ;   3) ;   4) .

2.75.  Дакажыце, што паслядоўнасць  з’яўляецца спадальнай і  (адзначым, што паслядоўнасць  нарастае ).

2.76.  Дакажыце, што калі , то любая падпаслядоўнасць () таксама збягаецца да . Карыстаючыся даказаным сцверджаннем, пакажыце, што: 1) ;    2) .

2.77.  Дакажыце раўназначнасць наступных азначэнняў: 1) Лік  называецца лімітавым пунктам (частковым лімітам) паслядоўнасці, калі існуе падпаслядоўнасць, збежная да . 2) Лік  называецца лімітавым пунктам паслядоўнасці , калі ў адвольнай акрузе пункта  знаходзіцца бясконца многа элементаў паслядоўнасці.

2.78.  Дадзены паслядоўнасці:    Якая з гэтых паслядоўнасцяў: 1) мае лімітавы пункт; 2) мае два лімітавыя пункты; 3) не мае лімі-тавых пунктаў? 

2.79.  Колькі лімітавых пунктаў мае паслядоўнасць ? Знайдзіце адпаведныя падпаслядоўнасці.

2.80.  Дакажыце, што збежная паслядоўнасць мае толькі адзін лімітавы пункт. Ці будзе праўдзівым адваротнае сцверджанне?

2.81.  Карыстаючыся вынікамі задачы 2.80, дакажыце разбежнасць пасля-доўнасці

2.82.  Няхай у паслядоўнасці  будуць збежнымі падпаслядоўнасці  і (). Ці заўсёды з гэтага вынікае збежнасць самой паслядоўнасці ?