БЕЛАРУСКІ ДЗЯРЖАЎНЫ УНІВЕРСІТЭТ
ФІЗІЧНЫ ФАКУЛЬТЭТ
КАФЕДРА ВЫШЭЙШАЙ МАТЭМАТЫКІ І МАТЭМАТЫЧНАЙ ФІЗІКІ
ВЫШЭЙШАЯ МАТЭМАТЫКА
У ПРЫКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ
Вучэбны дапаможнік для студэнтаў
фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў
У пяці частках
Частка 1. Матэматычны аналіз 1
МІНСК
2006
УДК
ББК
Рэкамендавана Вучоным саветам
фізічнага факультэта
Аўтары - складальнікі:
, , , , Α.
Рэцэнзенты:
член-карэспандэнтАкадэміі навук Рэспублікі Беларусь,
прафесар ;
кандыдат фізіка–матэматычных навук,
дацэнт
Вышэйшая матэматыка ў прыкладах і задачах. Вучэбны дапаможнік для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў. У 5 ч. Ч.1 / Аўт.- склад. : і інш. – Мн.: БДУ, 2006. – с.
Дапаможнік складаецца з пяці частак і прызначаецца для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў. Матэрыял адпавядае праграме вышэйшай матэматыкі. У кожным параграфе падаецца значная колькасць прыкладаў і задач, перад якімі змешчаны кароткія тэарэтычныя звесткі і разгледжаны тыповыя прыклады. Першая частка дапаможніка змяшчае матэрыял з матэматычнага аналізу функцый адной зменнай.
Дапаможнік дапасаваны да падручніка “Курс вышэйшай матэматыкі” (аўтары В. Русак, Л. Шлома, В. , Α. Крачкоўскі. Мн.: Выш. шк., 1994)
УДК
ББК
© БДУ, 2006
1º. Мноства – першаснае (неазначальнае) паняцце. Абазначаюць мноствы вялікімі лацінскімі літарамі A, B, C, X,...; – мноства натуральных лікаў, – цэлых, – рацыянальных, – рэчаісных. Тое, што элемент x належыць мноству A, абазначаюць xA; калі x не з’яўляецца элементам A – xА. Ужываюць запіс: , які паказвае, што з’яўляюцца элементамі мноства X (і толькі яны); а таксама X={x: M(x)},які характарызуе мноства X як сукупнасць элементаў x, што задавальняюць умову M(x).
Калі кожны элемент мноства А ёсць элемент мноства В, то кажуць: " А ёсць падмноства мноства В " ці " А улучана ў В " і пішуць АВ (або ВА). Два мноствы А і В называюцца роўнымі (абазначаюць ), калі яны складаюцца з адных і тых самых элементаў: , калі і толькі калі і . Мноства, якое не мае элементаў, называецца пустым і абазначаецца .
Аперацыі з мноствамі азначаюцца наступным чынам:
1) перасячэнне мностваў ;
2) аб’яднанне мностваў ;
3) розніца мностваў ;
4) дапаўненне мноства А (да пэўнага універсальнага мноства ) .
Для адвольных мностваў А, В, С справядлівы ўласцівасці:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;10) .
Колькасць элементаў канечнага мноства А абазначаецца праз m(A). Тады для адвольных канечных мностваў А, В праўдзіцца роўнасць:
. (1.1)
2º. Сума зададзеных лікаў запісваецца . Літара называецца індэксам сумавання. Сума не залежыць ад таго, якой літарай пазначаны індэкс сумавання, г. зн. . Часам узнікае неабходнасць зрушыць межы змянення індэкса сумавання ў той або іншы бок. Напрыклад, . Аперацыя сумавання мае ўласцівасць лінейнасці . Суму складнікаў запісваюць у выглядзе і называюць падвойнаю сумай. Пры гэтым мае месца роўнасць
.
3º. Для доказу праўдзівасці сцверджання часта звяртаюцца да метаду матэматычнай індукцыі – сцверджанне лічаць праўдзівым для ўсіх , калі выконваюцца наступныя дзве ўмовы: 1) выказванне праўдзівае пры ; 2) з праўдзівасці выказвання вынікае праўдзівасць выказвання для ўсіх натуральных k. Умова праўдзівасці выказвання , называецца базай індукцыі, а меркаванне праўдзівасці выказвання – індуктыўным пагадненнем. Калі задачай абумоўлена, што выказванне разглядаецца пачынаючы з пэўнага ліку (не з ліку 1), то базай індукцыі з’яўляецца праўдзівасць выказвання , а індуктыўнае пагадненне тычыцца адвольнага натуральнага k, .
►Мноства ўсіх студэнтаў першага курса факультэта будзем лічыць універсальным і абазначым U; M – мноства студэнтаў, якія здалі залік па матэматыцы, F – па фізіцы. Нам трэба знайсці колькасць m(M∩F). Мноства студэнтаў, якія не здалі ніводнаго заліку, ёсць прычым згодна з умовай задачы m(. Паколькі для дапаўнення мностваў справядліва ўласцівасць , то і m(. Тады .
На падставе формулы (1.1) атрымліваем
◄
► Задачу пра вылічэнне сумы , дзе – зададзеная функ-цыя, звычайна разглядаюць як задачу знаходжання як функцыі ад . Напрыклад, калі , то
.
Паколькі , то
. ◄
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.