1.14. Вылічыце: 1) ; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
.
1.15.
Дакажыце, што роўнасць праўдзіцца пры ўсякім n, :
1)
; 5)
;
2)
; 6)
;
3)
; 7)
;
4)
; 8)
.
1.16.
Дакажыце, што для n – га элемента арыфметычнай прагрэсіі з
розніцай
і сумы яе
элементаў
праўдзяцца формулы:
.
1.17.
Дакажыце, што для n – га элемента геаметрычнай прагрэсіі з
назоўнікам q і сумы яе
элементаў
праўдзяцца формулы:
.
1.18.
Дакажыце, што для ўсякіх рэчаісных лікаў , мае месца няроўнасць
.
1.19.
Дакажыце, што пры кожным праўдзяцца няроўнасці:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
1.20.
Высветліце, пры якіх натуральных n справядлівыя
няроўнасці:
1) ; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
;
6)
.
1.21.
Дакажыце няроўнась Бэрнулі .
1.22.
Дакажыце, што пры кожным натуральным n лік кратны
ліку b:
1)
, b = 7; 2)
, b = 6;
3)
, b = 3;
4)
, b =5; 5)
, b =9; 6)
,
.
1.23.
Дакажыце, што пры кожным натуральным n лік ёсць цэлы.
1.24.
Дакажыце, што пры кожным натуральным n лік з’яўляецца
натуральным.
1º. Бясконцы
дзесятковы дроб называецца рэчаісным лікам. Мноства рэчаісных
лікаў абазначаецца .
Лікі ,
дзе
,
называюцца
рацыянальнымі, а сам выраз
– рацыянальным дробам.
Мноства ўсіх рацыянальных лікаў
абазначаецца
. Кожны рацыянальны лік можна
запісаць як дзесятковы дроб. Бясконцыя дзесятковыя перыядычныя дробы і толькі
яны ёсць рацыянальныя лікі. Рэчаісны лік, які не ёсць рацыянальны, называецца ірацыянальным.
2º. Няхай X ёсць падмноства мноства рэчаісных лікаў, . Мноства X называецца абмежаваным зверху (знізу),
калі існуе такі рэчаісны лік
, што для
ўсіх
праўдзіцца няроўнасць
;
лік A (a) называецца верхняй мяжой
(ніжняй мяжой) мноства Х. Мноства, абмежаванае зверху і
знізу, называецца абмежаваным. Найменшая (найбольшая) з усіх
канечных або бясконцых верхніх (ніжніх) межаў мноства
называецца дакладнай
верхняй (ніжняй) мяжой мноства X і абазначаецца
(
).
Калі M = (m =
),
то:
1) выконваецца
няроўнасць
;
2) такі, што
.
Калі m і M ёсць канечныя лікі, то ўмова 2) раўназначная таму, што
такі, што
(
).
Тэарэма пра межы. Кожнае абмежаванае зверху (знізу) непустое мноства рэчаісных лікаў мае канечную дакладную верхнюю (ніжнюю) мяжу.
3º. Алгебраічнай формай камплекснага ліку z называецца выраз , дзе x, y – рэчаісныя лікі, i –
уяўнаяадзінка. Рэчаісныя лікі x і y называ-юцца адпаведна рэчаіснай і ўяўнай
часткамі ліку z і абазначаюцца x= Re z, y= Im z.
Два камплексныя лікі
і
называюцца роўнымі,
калі і толькі калі
. Камплексны лік x–
iy называецца спалучаным
камплекснаму ліку x+ iу і
абазначаецца
.
Арыфметычныя дзеянні з камплекснымі лікамі i
выконваюцца паводле правілаў:
1) ; 2)
;
3)
; 4)
.
Геаметрычна кожнаму камплекснаму ліку адпавядае
пункт М(x; y) каардынатнай плоскасці і, наадварот, кожнаму пункту М(x; y)
плоскасці адпавядае камплексны лік
. Гэтую
плоскасць называюць камплекснай плоскасцю, вось абцыс – рэчаіснаю
воссю, а вось ардынат – уяўнай воссю. Часам бывае больш
зручна выяўляць камплексны лік
як вектар з пачаткам у пункце О і
канцом у пункце M.
Модулем камплекснага ліку z
называецца даўжыня адпаведнага яму вектара. Модуль ліку абазначаецца |z| і вылічаецца паводле формулы
. (1.6)
Аргументам камплекснага ліку называецца
вугал паміж дадатным кірункам рэчаіснай восі і вектарам z. Для ліку
аргумент не
азначаецца. Аргумент камплекнага ліку z
абазначаецца
і вызначаецца з дакладнасцю да
складніка, кратнага 2π.
З геаметрычных меркаванняў зусім проста падаць
рэчаісную і ўяўную часткі камплекснага ліку праз
яго модуль r і аргумент
:
, (1.7)
або з улікам роўнасці (1.6)
. (1.8)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.