Вучэбны дапаможнік для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў у пяці частках, страница 3

1.14.  Вылічыце: 1) ;  2) ;  3) ;                    4) ;          5) ;           6) .

1.15.  Дакажыце, што роўнасць праўдзіцца пры ўсякім n, : 1) ;       5) ; 2) ;  6) ; 3) ;    7) ; 4) ;                8) .

1.16.   Дакажыце, што для n – га элемента арыфметычнай прагрэсіі  з розніцай  і сумы яе  элементаў  праўдзяцца формулы: .

1.17.   Дакажыце, што для n – га элемента геаметрычнай прагрэсіі  з назоўнікам q і сумы яе  элементаў  праўдзяцца формулы: .

1.18.  Дакажыце, што для ўсякіх рэчаісных лікаў , мае месца няроўнасць  .

1.19.  Дакажыце, што пры кожным праўдзяцца няроўнасці: 1) ;               2) ; 3) ;  4) .

1.20.  Высветліце, пры якіх натуральных n справядлівыя няроўнасці: 1) ;         2) ;           3) ; 4) ;   5) ;   6) .

1.21.  Дакажыце няроўнась Бэрнулі  .

1.22.  Дакажыце, што пры кожным натуральным n лік  кратны ліку b: 1) , b = 7;  2) , b = 6;        3) , b = 3; 4) , b =5; 5) , b =9; 6) , .

1.23.  Дакажыце, што пры кожным натуральным n лік  ёсць цэлы.

1.24.  Дакажыце, што пры кожным натуральным n лік  з’яўляецца натуральным.

1.2. РЭЧАІСНЫЯ І КАМПЛЕКСНЫЯ ЛІКІ

1º. Бясконцы дзесятковы дроб называецца рэчаісным лікам. Мноства рэчаісных лікаў абазначаецца .

Лікі , дзе ,  называюцца рацыянальнымі, а сам выраз  – рацыянальным дробам. Мноства ўсіх рацыянальных лікаў абазначаецца . Кожны рацыянальны лік можна запісаць як дзесятковы дроб. Бясконцыя дзесятковыя перыядычныя дробы і толькі яны ёсць рацыянальныя лікі. Рэчаісны лік, які не ёсць рацыянальны, называецца ірацыянальным.

2º. Няхай X ёсць падмноства мноства рэчаісных лікаў, . Мноства X называецца абмежаваным зверху (знізу), калі існуе такі рэчаісны лік , што для ўсіх  праўдзіцца няроўнасць  ; лік A (a) называецца верхняй мяжой (ніжняй мяжой) мноства Х. Мноства, абмежаванае зверху і знізу, называецца абмежаваным. Найменшая (найбольшая) з усіх канечных або бясконцых верхніх (ніжніх) межаў мноства  называецца дакладнай верхняй (ніжняй) мяжой мноства X і абазначаецца  ().

Калі M =  (m = ), то:

1)  выконваецца няроўнасць ;

2)  такі, што .

Калі m і M ёсць канечныя лікі, то ўмова 2) раўназначная таму, што           такі, што  ().

Тэарэма пра межы. Кожнае абмежаванае зверху (знізу) непустое мноства рэчаісных лікаў мае канечную дакладную верхнюю (ніжнюю) мяжу.

3º. Алгебраічнай формай камплекснага ліку z называецца выраз , дзе x, y – рэчаісныя лікі, i – уяўнаяадзінка. Рэчаісныя лікі x і y называ-юцца адпаведна рэчаіснай і ўяўнай часткамі ліку z і абазначаюцца x= Re z, y= Im z. Два камплексныя лікі  і  называюцца роўнымі, калі і толькі калі . Камплексны лік x– iy называецца спалучаным камплекснаму ліку x+ iу і абазначаецца .

Арыфметычныя дзеянні з камплекснымі лікамі  i  выконваюцца паводле правілаў:

1) ; 2) ; 3) ;     4) .

Геаметрычна кожнаму камплекснаму ліку  адпавядае пункт М(x; y) каардынатнай плоскасці і, наадварот, кожнаму пункту М(x; y) плоскасці адпавядае камплексны лік . Гэтую плоскасць называюць камплекснай плоскасцю, вось абцыс – рэчаіснаю воссю, а вось ардынат – уяўнай воссю. Часам бывае больш зручна выяўляць камплексны лік  як вектар з пачаткам у пункце О і канцом у пункце M.

Модулем камплекснага ліку z называецца даўжыня адпаведнага яму вектара. Модуль ліку  абазначаецца |z| і вылічаецца паводле формулы

.                                     (1.6)

Аргументам камплекснага ліку  называецца вугал паміж дадатным кірункам рэчаіснай восі і вектарам z. Для ліку  аргумент не азначаецца. Аргумент камплекнага ліку z абазначаецца  і вызначаецца з дакладнасцю да складніка, кратнага 2π.

З геаметрычных меркаванняў зусім проста падаць рэчаісную і ўяўную часткі камплекснага ліку  праз яго модуль r і аргумент :

,                                              (1.7)

або з улікам роўнасці (1.6)

.                         (1.8)