Вучэбны дапаможнік для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў у пяці частках, страница 8

Спосаб другі. Вылучаючы ў суме квадратаў  квадрат сумы, атрымаем . Раскладаючы правую частку на множ-нікі як розніцу квадратаў, прыходзім да таго ж самага выніку.◄

2º. Рацыянальнай функцыяй называецца выраз , дзе  – мнагасклады. Калі ступень мнагаскладу  меншая за ступень мнагаскладу , то рацыянальная функцыя  называецца правільнай. У іншым выпадку функцыя  называецца няправільнай і яе можна падаць у выглядзе , дзе  ёсць дзель, а  – астача ад дзялення мнагаскладу  на . Пры гэтым рацыянальная функцыя  ёсць правільная, або .

Няхай  ёсць правільная рацыянальная функцыя, і  – мнагасклады з рэчаіснымі каэфіцыентамі, прычым расклад мнагаскладу  на множнікі мае выгляд (1.12). Тады існуюць рэчаісныя канстанты  такія, што мае месца роўнасць

.            (1.13)

Складнікі ў правай частцы роўнасці (1.13) называюцца простымі рацыянальнымі дробамі. Асноўныя спосабы знаходжання каэфіцыентаў раскладу правільнай рацыянальнай функцыі  на суму простых дробаў разгледзім на прыкладах.

Прыклад 4. Раскласці на суму простых рацыянальных дробаў: 1. ;  2. ; 3. ; 4.  .

►1. На падставе формулы  (1.13) маем:

 .

З роўнасці рацыянальных дробаў вынікае роўнасць мнагаскладаў . Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях х, атрымаем сістэму:

развязак якой ёсць . Такім чынам,

.

Гэты спосаб называецца спосабам адпаведных каэфіцыентаў.

2. У выпадку, калі корні назоўніка рацыянальнай функцыі простыя, вельмі зручным з’яўляецца спосаб дамнажэння. Спачатку запішам расклад дробу з нявызначанымі каэфіцыентамі:

.

Дамнажаючы абедзве часткі гэтай роўнасці на , маем

 .

Надаючы абедзвюм часткам атрыманай роўнасці значэнне  (корань мнагаскладу ), атрымаем . Аналагічна вылічаюцца  .

3. Карані назоўніка ў гэтым выпадку таксама простыя, хаця і камп-лексныя. Карыстаемся спосабам дамнажэння:

, адкуль .

Беручы значэнні  і , атрымаем

.

З гэтай сістэмы знаходзім  Такім чынам,

.

4. Беручы , атрымаем

 .◄

Задачы

1.94.  Вызначце канстанты A,B, C,D так, каб праўдзіліся роўнасці: 1)  2)   3) .

1.95.  Знайдзіце дзель  і астачу  ад дзялення мнагаскладу  на мнагасклад : 1)  2)  3)  4) 

1.96.  Ці дзеліцца мнагасклад  на мнагасклад : 1)  2)  3)  4) ?

1.97.  Для якіх значэнняў а і b мнагасклад  дзеліцца на : 1)  2)  3) ?

1.98.  Пры дзяленні мнагаскладу  на  атрымліваецца астача 7, а пры дзяленні на  – астача 3. Знайдзіце астачу ад дзялення  на .

1.99.  Пры дзяленні мнагаскладу  на  атрымліваецца астача , а пры дзяленні на  – астача . Знайдзіце астачу ад дзялення  на .

1.100.  Дакажыце, што цэлыя карані мнагаскладу з цэлымі каэфіцыентамі ёсць дзельнікі вольнага складніка гэтага мнагаскладу.

1.101.  Знайдзіце цэлыя карані раўнанняў: 1) ;      2)  3) ;      4) .

1.102.  Дакажыце, што кожны рацыянальны корань мнагаскладу з цэлымі каэфіцыентамі можна падаць у выглядзе p/q, дзе p ёсць дзельнік вольнага складніка, а q – дзельнік найвышэйшага каэфіцыента гэтага мнагаскладу.

1.103.  Знайдзіце рацыянальныя карані раўнанняў: 1) ;        2) ; 3) ;        4) .

1.104.  Развяжыце раўнанні: 1) ;         2) ; 3) ;        4) .

1.105.  Дакажыце, што калі мнагасклад з рэчаіснымі каэфіцыентамі мае камплексны корань , то лік  таксама ёсць корань гэтага мнагаскладу.

1.106.  Пераканайцеся ў тым, што лік z₀ ёсць развязак раўнання, і знайдзі-це астатнія развязкі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.107.  Вызначце кратнасць кораня z₀ раўнання: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.108.  Знайдзіце суму каэфіцыентаў мнагаскладаў: 1) ;     2) .

1.109.  Падайце мнагасклад у выглядзе здабытку двух мнагаскладаў другой ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі: 1) ;  2) ;  3) ; 4) ;    5) .

1.110.  Вылучыце цэлую частку рацыянальных функцый: 1) ; 2) ; 3) .

1.111.  Раскладзіце рацыянальную функцыю на суму простых дробаў: 1) ;   2) ;          3) ; 4) ;  5) ;       6) ; 7) ;   8) ;  9) .