►Дамножым гэтую роўнасць на , калі
.
Паколькі
, то
,
адкуль
.
Калі ж
, то
.◄
►Патрэбна даказаць роўнасць
. (1.2)
Скарыстаем метад матэматычнай індукцыі.
1) Формула (1.2) праўдзіцца для n= 1, бо 1 = 1.
2) Няхай – адвольны натуральны
лік і для
роўнасць (1.2) ёсць
праўдзівая, г. зн.
. Дакажам, што з
гэтага вынікае праўдзі-васць (1.2) для
.
Сапраўды,
.
Гэта азначае, што роўнасць (1.2) даказана для кожнага натуральнага n. ◄
. (1.3)
►Сцверджанне, якое можна было б даказваць
метадам матэматычнай індукцыі яўна не сфармулявана. З гэтай прычыны высветлім
закана-мернасць узаемадачыненняў велічыняў i
. Нададзім паслядоўна
ліку n значэнні
i адпаведна атрымаем
.
Такім чынам, можна выказаць гіпотэзу: няроўнасць (1.3) праўдзіцца для кожнага
натуральнага
. Дакажам гэтае сцверджанне.
1) Праўдзівасць базы індукцыі для ужо даказана.
2) Дапусцім, што
няроўнасць (1.3) праўдзіцца для адвольнага
, г. зн.
. (1.4)
Скарыстоўваючы няроўнасць (1.4), дакажам няроўнасць
. (1.5)
Зыходзячы з няроўнасці (1.4), маем . Калі мы пакажам што
, то гэта і будзе азначаць
праўдзівасць няроўнасці (1.5). Сапраўды, апошняя няроўнасць раўназначная
няроўнасці
, або
, якая пры
ёсць праўдзівая, а тым самым
праўдзіцца няроўнасць (1.5). Згодна з метадам матэматычнай індукцыі мы
даказалі, што няроўнасць (1.3) праўдзіцца для кожнага
і таксама
пераканаліся ў яе праўдзівасці для n=1. ◄
1.1.
Няхай А – мноства дзельнікаў ліку 15; В
– мноства простых лікаў, меншых за 10; С – мноства цотных лікаў, меншых
за 9. Знайдзіце мноствы: 1) ;
2)
; 3)
; 4)
; 5)
.
1.2.
Няхай А = [–2, 3], В = (–∞, 0), С
= [0, 4). Знайдзіце мноствы:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
і выявіце іх на лікавай прамой.
1.3.
Няхай мноствы А = (–, 2] і В = [–3, 5) ёсць
падмноствы універсаль-нага мноства
. Знайдзіце мноствы:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
і вы-явіце іх на
лікавай прамой.
1.4.
Зададзены мноствы ,
,
.
Знайдзіце:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
1.5.
Няхай ,
. Знайдзіце: 1)
; 2)
; 3)
.
1.6.
Няхай А –найбольшае ваколле пункта , у якім праўдзіцца ня-роўнасць х2
– 5х + 4 < 0; В – найбольшае ваколле
пункта
, у якім
.
Знайдзіце : 1)
; 2)
; 3)
.
1.7. У першым туры алімпіяды ўдзельнічалі 100 студэнтаў, з іх 70 чалавек атрымалі права ўдзельнічаць у другім туры алімпіяды па фізіцы, 45 – па матэматыцы. Вядома, што 23 чалавекі могуць браць удзел у другім туры і па фізіцы, і па матэматыцы. Колькі студэнтаў не дапушчана да другога туру ні па фізіцы, ні па матэматыцы?
1.8. Няхай А – падмноства мноства натуральных лікаў. Кожны элемент мноства А ёсць лік, які кратны ці ліку 2, ці 3, ці 5. Знайдзіце колькасць элементаў у мностве А, калі сярод іх ёсць: 70 лікаў, якія кратныя 2; 60 лікаў, кратных 3; 80 лікаў, кратных 5; 32 лікі, кратныя 6; 35 лікаў, кратных 10; 38 лікаў, кратных 15; 20 лікаў, кратных 30.
1.9. Сярод абітурыентаў, якія паступілі на фізічны факультэт універсітэта, адзнаку “дзевяць” атрымалі: па матэматыцы – 48 чалавек; па фізіцы – 37; па беларускай мове 42; па матэматыцы ці фізіцы – 75; па матэматыцы ці беларускай мове – 76; па фізіцы ці беларускай мове – 66; па ўсіх трох дысцыплінах – 4. Высветліце: 1) колькі абітурыентаў атрымалі хаця б адну дзевятку; 2) колькі чалавек атрымалі толькі адну дзевятку.
1.10. Вылічыце: 1) ; 2)
; 3)
; 4)
.
1.11. Вылічыце: 1) ; 2)
.
1.12. Вылічыце , калі:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
1.13. Вылічыце: 1) ; 2)
;
3)
; 4)
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.