Вучэбны дапаможнік для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў у пяці частках, страница 2

►Дамножым гэтую роўнасць на , калі . Паколькі , то                 , адкуль    . Калі ж , то .◄

Прыклад 4. Даказаць, што сума першых n няцотных лікаў () роўная .

►Патрэбна даказаць роўнасць

.                                                                      (1.2)

Скарыстаем метад матэматычнай індукцыі. 1) Формула (1.2) праўдзіцца для n= 1, бо 1 = 1. 2) Няхай  – адвольны натуральны лік і для   роўнасць (1.2) ёсць праўдзівая, г. зн. .  Дакажам, што з гэтага вынікае праўдзі-васць (1.2) для . Сапраўды,

.

Гэта азначае, што роўнасць (1.2) даказана для кожнага натуральнага n. ◄

Прыклад 5. Знайсці ўсе натуральныя лікі n для якіх праўдзіцца няроўнасць

.                                                                        (1.3)

►Сцверджанне, якое можна было б даказваць метадам матэматычнай індукцыі яўна не сфармулявана. З гэтай прычыны высветлім закана-мернасць узаемадачыненняў велічыняў  i . Нададзім паслядоўна ліку n значэнні  i адпаведна атрымаем    . Такім чынам, можна выказаць гіпотэзу: няроўнасць (1.3) праўдзіцца для кожнага натуральнага . Дакажам гэтае сцверджанне.

1) Праўдзівасць базы індукцыі для  ужо даказана.

2) Дапусцім, што няроўнасць (1.3) праўдзіцца для адвольнага  , г. зн.

.                                                     (1.4)

Скарыстоўваючы няроўнасць (1.4), дакажам няроўнасць

.                                           (1.5)

Зыходзячы з няроўнасці (1.4), маем . Калі мы пакажам што , то гэта і будзе азначаць праўдзівасць няроўнасці (1.5). Сапраўды, апошняя няроўнасць раўназначная няроўнасці , або , якая пры  ёсць праўдзівая, а тым самым праўдзіцца няроўнасць (1.5). Згодна з метадам матэматычнай індукцыі мы даказалі, што няроўнасць (1.3) праўдзіцца для кожнага  і таксама пераканаліся ў яе праўдзівасці для n=1. ◄

Задачы

1.1.  Няхай А – мноства дзельнікаў ліку 15; В – мноства простых лікаў, меншых за 10; С – мноства цотных лікаў, меншых за 9. Знайдзіце мноствы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.2.  Няхай А = [–2, 3], В = (–∞, 0), С = [0, 4). Знайдзіце мноствы:            1) ; 2) ; 3) ; 4)    і выявіце іх на лікавай прамой.

1.3.  Няхай мноствы А = (–, 2] і В = [–3, 5) ёсць падмноствы універсаль-нага мноства . Знайдзіце мноствы: 1) ;  2) ;  3) ;  4)  і вы-явіце іх на лікавай прамой.

1.4.  Зададзены мноствы , , . Знайдзіце: 1) ;  2) ;  3) ;  4) .

1.5.  Няхай , . Знайдзіце: 1) ;    2) ;    3) .

1.6.  Няхай А –найбольшае ваколле пункта , у якім праўдзіцца ня-роўнасць х² – 5х + 4 < 0; В – найбольшае ваколле пункта , у якім . Знайдзіце : 1) ;  2) ;  3) .

1.7.  У першым туры алімпіяды ўдзельнічалі 100 студэнтаў, з іх 70 чалавек атрымалі права ўдзельнічаць у другім туры алімпіяды па фізіцы, 45 – па матэматыцы. Вядома, што 23 чалавекі могуць браць удзел у другім туры і па фізіцы, і па матэматыцы. Колькі студэнтаў не дапушчана да другога туру ні па фізіцы, ні па матэматыцы?

1.8.  Няхай А – падмноства мноства натуральных лікаў. Кожны элемент мноства А ёсць лік, які кратны ці ліку 2, ці 3, ці 5. Знайдзіце колькасць элементаў у мностве А, калі сярод іх ёсць: 70 лікаў, якія кратныя 2; 60 лікаў, кратных 3; 80 лікаў, кратных 5; 32 лікі, кратныя 6; 35 лікаў, кратных 10; 38 лікаў, кратных 15; 20 лікаў, кратных 30.

1.9.  Сярод абітурыентаў, якія паступілі на фізічны факультэт універсітэта, адзнаку “дзевяць” атрымалі: па матэматыцы – 48 чалавек; па фізіцы – 37; па беларускай мове 42; па матэматыцы ці фізіцы – 75; па матэматыцы ці беларускай мове – 76; па фізіцы ці беларускай мове – 66; па ўсіх трох дысцыплінах – 4. Высветліце: 1) колькі абітурыентаў атрымалі хаця б адну дзевятку; 2) колькі чалавек атрымалі толькі адну дзевятку.

1.10.  Вылічыце: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.11.  Вылічыце: 1) ; 2) .

1.12.  Вылічыце , калі:                    1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.13.  Вылічыце: 1) ;             2) ;                    3) ; 4) .