Вучэбны дапаможнік для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў у пяці частках

БЕЛАРУСКІ ДЗЯРЖАЎНЫ УНІВЕРСІТЭТ

ФІЗІЧНЫ ФАКУЛЬТЭТ

КАФЕДРА ВЫШЭЙШАЙ МАТЭМАТЫКІ І МАТЭМАТЫЧНАЙ ФІЗІКІ

ВЫШЭЙШАЯ МАТЭМАТЫКА

У ПРЫКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ

Вучэбны дапаможнік для студэнтаў

фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў

У пяці частках

Частка 1. Матэматычны аналіз 1

МІНСК

2006

УДК

ББК

Рэкамендавана Вучоным саветам

фізічнага факультэта

Аўтары - складальнікі:

, , , , Α.

Рэцэнзенты:

член-карэспандэнтАкадэміі навук Рэспублікі Беларусь,

прафесар ;

кандыдат фізіка–матэматычных навук,

дацэнт

Вышэйшая матэматыка ў прыкладах і задачах. Вучэбны дапаможнік для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў. У 5 ч. Ч.1 / Аўт.- склад. : і інш. – Мн.: БДУ, 2006. –      с.

Дапаможнік складаецца з пяці частак і прызначаецца для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў. Матэрыял адпавядае праграме вышэйшай матэматыкі. У кожным параграфе падаецца значная колькасць прыкладаў і задач, перад якімі змешчаны кароткія тэарэтычныя звесткі і разгледжаны тыповыя прыклады. Першая частка дапаможніка змяшчае матэрыял з матэматычнага аналізу функцый адной зменнай.

Дапаможнік дапасаваны да падручніка “Курс вышэйшай матэматыкі” (аўтары В. Русак, Л. Шлома, В. , Α. Крачкоўскі. Мн.: Выш. шк., 1994)

УДК

ББК

© БДУ, 2006

1. УВОДЗІНЫ Ў МАТЭМАТЫЧНЫ АНАЛІЗ

1.1. МНОСТВЫ. ВЫКАЗВАННІ.

 МЕТАД МАТЭМАТЫЧНАЙ ІНДУКЦЫІ

1º. Мноства – першаснае (неазначальнае) паняцце. Абазначаюць мноствы вялікімі лацінскімі літарамі A, B, C, X,...;  – мноства натуральных лікаў,  – цэлых,  – рацыянальных,  – рэчаісных. Тое, што элемент x належыць мноству A, абазначаюць xA; калі x не з’яўляецца элементам A – xА. Ужываюць запіс: , які паказвае, што  з’яўляюцца элементамі мноства X (і толькі яны); а таксама X={x: M(x)},які характарызуе мноства X як сукупнасць элементаў x, што задавальняюць умову M(x).

Калі кожны элемент мноства А ёсць элемент мноства В, то кажуць: " А ёсць падмноства мноства В " ці " А улучана ў В " і пішуць АВ (або ВА). Два мноствы А і В называюцца роўнымі (абазначаюць ), калі яны складаюцца з адных і тых самых элементаў: , калі і толькі калі  і . Мноства, якое не мае элементаў, называецца пустым і абазначаецца .

Аперацыі з мноствамі азначаюцца наступным чынам:

1) перасячэнне мностваў ;

2) аб’яднанне мностваў ;

3) розніца мностваў ;

4) дапаўненне мноства А (да пэўнага універсальнага мноства )           .

Для адвольных мностваў А, В, С справядлівы ўласцівасці:

1) ;    2) ;    3) ;        4) ;           5) ;     6) ; 7) ; 8) ; 9) ;10) .

Колькасць элементаў канечнага мноства А абазначаецца праз m(A). Тады для адвольных канечных мностваў А, В праўдзіцца роўнасць:

.                          (1.1)

2º. Сума зададзеных  лікаў  запісваецца . Літара  называецца індэксам сумавання. Сума не залежыць ад таго, якой літарай пазначаны індэкс сумавання, г. зн. . Часам узнікае неабходнасць зрушыць межы змянення індэкса сумавання ў той або іншы бок. Напрыклад, . Аперацыя сумавання мае ўласцівасць лінейнасці . Суму  складнікаў  запісваюць у выглядзе  і называюць падвойнаю сумай. Пры гэтым мае месца роўнасць

.

3º. Для доказу праўдзівасці сцверджання  часта звяртаюцца да метаду матэматычнай індукцыі – сцверджанне  лічаць праўдзівым для ўсіх , калі выконваюцца наступныя дзве ўмовы: 1) выказванне  праўдзівае пры ; 2) з праўдзівасці выказвання  вынікае праўдзівасць выказвання  для ўсіх натуральных k. Умова праўдзівасці выказвання , называецца базай індукцыі, а меркаванне праўдзівасці выказвання  – індуктыўным пагадненнем. Калі задачай абумоўлена, што выказванне  разглядаецца пачынаючы з пэўнага ліку  (не з ліку 1), то базай індукцыі з’яўляецца праўдзівасць выказвання , а індуктыўнае пагадненне тычыцца адвольнага натуральнага k, .

Прыклад 1. На першым курсе факультэта вучацца 200 студэнтаў. З іх у тэрмін здалі залік па матэматыцы 150 чалавек, а па фізіцы – 175. Не здалі залік ні па матэматыцы, ні па фізіцы 10 чалавек. Колькі студэнтаў здалі абодва залікі?

►Мноства ўсіх студэнтаў першага курса факультэта будзем лічыць універсальным і абазначым U; M – мноства студэнтаў, якія здалі залік па матэматыцы, F – па фізіцы. Нам трэба знайсці колькасць m(M∩F). Мноства студэнтаў, якія не здалі ніводнаго заліку, ёсць  прычым згодна з умовай задачы m(. Паколькі для дапаўнення мностваў справядліва ўласцівасць , то і m(. Тады .

На падставе формулы (1.1) атрымліваем

   ◄

Прыклад 2. Вылічыць суму .

► Задачу пра вылічэнне сумы , дзе  – зададзеная функ-цыя, звычайна разглядаюць як задачу знаходжання  як функцыі ад . Напрыклад, калі , то

.

Паколькі , то

.   ◄

Прыклад 3. Вылічыць суму .