Информатика и выч. техника \ Основы математического моделирования физических систем

Общие понятия и определения в математическом моделировании. Алгоритм построения математических моделей электромеханических объектов, страница 5

где kЯО – относительное значение коэффициента передачи якорной цепи; τВ – относительная постоянная времени обмотки возбуждения; τЭМ– относительное значение электромеханической постоянной времени;

1

KЯ =  – абсолютное значение коэффициента передачи якорной цепи.  RЯ

Запишем систему (4.2) в виде

⎧⎪diЯО = kЯО ⋅(uЯО − iBО ⋅ωО) − iЯО,

⎪ dτ

                       ⎪⎪⎨diBО = 1 ⋅(uЯО − iBО),                                           (4.4)

                                        ⎪ dτ     τB

                                        ⎪⎪dωО =     1Я      ⋅[iBО ⋅iЯО − МСТО ⋅sign(ωО)].

О

                                       ⎪⎩ dτ      τЭМ ⋅kЯ

По математической модели (4.4) определяются через известные

(заданные) величины uЯО, uВО, МСТО величины iЯО, iВО, ωО, а другие неизвестные, при необходимости, можно вычислить по уравнениям связи в относительных переменных

                                     еЯО = iВО ⋅ωО, МЭМО = iВО ⋅iЯО.                     (4.5)

4.3.  Линеаризация математической модели

В случае исследования электромеханических объектов «в малом», т. е. для небольших отклонений переменных от их установившихся значений, используют линеаризацию матмодели, которую осуществляют приближённой заменой нелинейных членов в уравнениях на линейные. 

Рассмотрим как этоделается на примере матмодели ДПТ (4.4).

По системе (4.4) видно, её нелинейность определяется произведениями переменных iВО ⋅ωО ⋅iЯО, iЯО ⋅iВО и нагрузкой сухого трения

МСТО ⋅sign(ωО).

Линеаризация осуществляется за счёт представления переменных в виде суммы установившегося значения и малого приращения, последующей подстановки в уравнения и отбрасывания в процессе аналитических преобразований переменных высших порядков малости.

В результате нелинейная матмодель становится линейной, но записанной в приращениях, а значит справедливой только «в малом», т. е. в окрестностях установившегося режима (рабочей точки).

Проведём линеаризацию системы (4.4) относительно номинального рабочего режима, где 

      iЯОN = iBОN =UЯОN = ωОN = MСТО N =1, UЯОN = UЯN = UЯN ⋅ IЯN ≠1.

                                                                                                                           EЯN          MЯN ⋅ωN

Для этого запишем 

О

                                                      iЯО = 1+ ΔiЯО,   uЯО = UЯN ⋅ IЯN + ΔuЯО,   iBО =1+ ΔiЯО, MN ⋅ωN

ωО =1+ ΔωО,   uЯО = 1+ ΔuЯО,   MСТО =1+ ΔMСТО и найдём произведения 

          iBО ⋅ωО =1+ ΔiBО + ΔωО + ΔiBО ⋅ΔωО ≈1+ ΔiBО ⋅ΔωО, iBО ⋅iЯО ≈1+ ΔiBО + ΔiЯО.

После подстановки и упрощений получим матмодель (4.4) в линеаризованном виде

⎧⎪dΔiЯО = KЯО ⋅(ΔuЯО − ΔiЯО ⋅ΔωО),

⎪ dτ

                          ⎪⎪⎨dΔiBО = 1 ⋅(ΔuВО − ΔiBО),                                   (4.6)

                                           ⎪ dτ      τB

                                          ⎪⎪dΔωО =     1Я О ⋅(ΔiBО + ΔiЯО − ΔМСТО ),

                                           ⎪⎩ dτ       τЭМ ⋅ KЯ

а уравнения связи (4.5) ввиде

ΔeЯО = ΔiЯО + ΔωО,

                                                                                                              (4.7)

                                                                                О                О             О

ΔМЭМ = ΔiЯ + ΔiЯ.

5.  Представление и преобразование  математической модели в операторном виде

5.1.  Представление линеаризованной математической модели электродвигателя в операторном виде

При анализе и синтезе объектов электромеханики, в частности автоматизированных электроприводов, обычно используются структурные схемы, представленные через передаточные функции её элементов.

Используется такой подход на основе матмоделей элементов САУ, записанных в операторном виде, с помощью интегрального преобразования по Лапласу.

Покажем, как можно представить матмодель (4.6) в операторном виде.

Обозначая операторные изображения приращений переменных

ΔiЯО, ΔiВО, ΔωО, ΔuВО, ΔМСТО через IЯ(р), IВ(р),…, МСТ(р) и используя правила интегрального преобразования по Лапласу (в частности,

⎛ dx⎞

          ⎜     ⎟ = p ⋅ X(p) запишем (4.6) так

⎝ dt ⎠

Скачать файл