Общие понятия и определения в математическом моделировании. Алгоритм построения математических моделей электромеханических объектов, страница 3

Записывая уравнения электрического и механического равновесия по законам Кирхгофа и Ньютона в соответствии со схемами замещения, получим математическую модель ДПТ НВ в канонической (непреобразованной) форме

⎧⎪uЯ = iЯ ⋅ RЯ + LЯ ⋅ didtЯ + eЯ,

⎪

                                                     ⎪                           di^В ,                               (3.1)

                                   ⎨u_В = i_В ⋅ R_В + L_В ⋅

                                                     ⎪                           dt

                                                     ⎪                  dω

⎪⎩М_ЭМ = J_Я ⋅ dt + M_СТ ⋅sign(ω).

Функция sign(ω) =±1 находится в зависимости от направления вращения якоря электродвигателя, этим учитывается, что момент сухого трения М_СТ всегда действует против вращения вала, но от скорости его вращения не зависит. Учет этого необходим, поскольку при подаче напряжения на якорь двигателя, пока электромагнитный момент двигателя не превысит момент сопротивления, двигатель будет разгоняться в обратную сторону. С учетом же знака скорости она будет колебаться в окрестностях нуля в течение периода времени, когда момент двигателя будет меньше момента сопротивления.

Система уравнений (3.1) недостаточна, поскольку она имеет три уравнения для пяти неизвестных величин (i_Я, i_В, е_Я, ω, М_ЭМ) при трех заданных величинах (u_Я, u_В, М_СТ). Систему необходимо дополнить двумя уравнениями, известными из теории электрических машин  и определяемыми законами Фарадея и Ампера,

eЯ = КE ⋅ФВ ⋅ω,

МЭМ = КЕ ⋅ФВ ⋅iЯ, где К_Е – константа, зависящая от конструкции и параметров электродвигателя.

Из допущения о ненасыщенности магнитной цепи следует, что магнитный поток Ф_В двигателя пропорционален току возбуждения

                                               Ф_В = К_ФN · W_В · i_В, где К_ФN – константа, определяемая конструкцией и пара-метрами магнитной цепи электродвигателя; W_В – число витков обмотки возбуждения.

Тогда, в целом, математическая модель ДПТ НВ будет определяться дифференциальными уравнениями (3.1) и следующими алгебраическими уравнениями связи

⎧eЯ = КE ⋅ КФN ⋅WВ ⋅iВ ⋅ω,

                                      ⎨                                                              (3.2)

⎩МЭМ = КЕ ⋅ КФN ⋅WВ ⋅iВ ⋅iЯ.

Укажем ещё несколько дополнительных соотношений, важных для дальнейшего изложения материала.

В установившемся режиме, когда все производные становятся нулевыми, система уравнений (3.1) записывается в виде

⎧UЯN = IЯN ⋅ RЯ + EЯN,

⎪

                                            ⎨UВN = IВN ⋅ RВ,                                       (3.3)

⎪⎩MN = MСТ.N, где индекс N означает номинальное (паспортное) значение данной величины.

Отсюда получаются удобные для расчёта констант формулы

                                                                              MN           = EЯN = UЯN − IЯN ⋅ RЯ .    (3.4)

                    КЕ ⋅ КФN ⋅WВ =

                                                                        I_BN ⋅ I_ЯN           ω_N                    I_BN ⋅ω_N

Тогда в целом можно матмодель ДПТ НВ в абсолютных переменных записать в виде

⎧uЯ = iЯ ⋅ RЯ + LЯ ⋅ diЯ + eЯ, ⎪

                                                     ⎪                            dt

                                                     ⎪                          di

                                                     ⎪u_В = i_В ⋅ R_В + L_В ⋅    ^В ,

                                                     _⎪                           dt

                                                     ⎪                  dω

                                    ⎨M_ЭМ = J_Я ⋅       + M_СТ ⋅sign(ω),                   (3.5)

                                                     _⎪                   dt

eЯ =

                                                   ⎪⎪⎪       IЯNM⋅NIBN ⋅ω⋅iB,

MЭМ =

                                                   ⎪⎪⎩           IЯNМ⋅NIBN ⋅iB ⋅iЯ.

4.  Основные способы преобразования  математических моделей, записанных в виде системы дифференциальных уравнений

На примере математической модели (3.1) покажем способы её преобразования, наиболее часто используемые в электромеханике.