Сопротивление материалов. Часть 2: Учебное пособие для студентов заочной формы обучения, страница 2

Косой изгиб представляет собой разновидность поперечного изгиба, при котором плоскость действия нагрузки не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения стержня. Разложение нагрузки по направлению главных осей инерции сечения приводит к возникновению двух плоских изгибов. Нормальные напряжения вычисляются по формуле:

                                                 (2.1)

где  ,

M –  суммарный изгибающий момент, j – угол, образованный вектором нагрузки и главной осью y.

Условие прочности запишется в виде[1]:

.                                     (2.2)

Три типа задач, вытекающих из условия прочности:

1.  проверка прочности:,       

2.  подбор поперечного сечения:

,                            (2.3)

где известный числовой множитель,

3.  определение грузоподъемности:

                                         (2.4)

2.1.2.  Внецентренное растяжение-сжатие.

Такой вид деформации возникает при приложении к стержню сил, параллельных его продольной оси, но смещенных относительно последней на величину e (эксцентриситет). В поперечных сечениях стержня возникают три внутренних усилия: продольная сила N_z=P, изгибающие моменты  M_x=Py_p, M_y=Px_p(x_p,y_p-координаты точки приложения внецентренной силы).

Формула для определения нормального напряжения запишется в виде:

,                                               (2.5)

Подстановка  в формулу (2.5) дает

,                                     (2.6)

где - радиусы инерции поперечного сечения стержня.

Условие прочности: 

,                          (2.7)

где           координаты опасной точки сечения.

Положение опасной точки определяется с помощью нейтральной оси.

Уравнение нейтральной оси

     или      ,                            (2.8)

При внецентренном растяжении-сжатии нейтральная ось не проходит через центр сечения. Отрезки, отсекаемые нейтральной осью от осей x, y определяются по формулам:

Опасной точкой поперечного сечения является точка, наиболее удаленная от нейтральной оси.

Из условия прочности (2.7) непосредственно следует формула определения грузоподъемности стержня

                                          (2.9)

2.1.3.  Изгиб с кручением.

В условиях совместного действия изгибающего и крутящего моментов работают многие элементы конструкций и деталей машин.

Для стержней кругового поперечного сечения распределение нормальных и касательных напряжений по высоте сечения приведено на рис.2.1.

Опасными точками сечения являются крайние точки вертикального диаметра, в которых возникают максимальные нормальные напряжения и максимальные касательные напряжения кручения. Проверка прочности материала, который одновременно испытывает действие нормальных и касательных напряжений, производится по формуле

,

где - расчетные напряжения, соответствующие i-ой классической теории прочности. (Изложение классических теорий прочности можно найти в любом учебнике по сопротивлению материалов).

Для проверки прочности пластичного материала вычисляются расчетные напряжения, соответствующие третьей или четвертой теориям прочности

                                        (2.10)

                                        (2.11)

Подстановка в формулы (2.10) и (2.11) значений напряжений  (М_и – суммарный изгибающий момент, вычисляется по формуле ) дает

                                   (2.12)

                           (2.13)

2.2.  Определение перемещений в балках.

В балках под нагрузкой происходит искривление оси, в результате чего возникают вертикальные перемещения v  (прогибы) точек оси и углы поворота  поперечных сечений (рис. 2.2).

Для определения прогибов v(z) и углов поворотаприменяются метод начальных параметров и интеграл Мора.

Рис.2.2

2.2.1.  Метод начальных параметров.

Непосредственно из рассмотрения рис.2.2 в предположении малости углов поворота () следует связь между величинами v(z) и

                                                 (2.14)

Производная от функции угла поворота по координате оси балки определяет кривизну  изогнутой оси

                                           (2.15)

Кривизна связана с функцией изгибающего момента M_x  зависимостью

                                                 (2.16)

где  ‑ изгибная жесткость балки.

Комбинирование формул (2.15) и  (2.16) приводит к выражению, известному как приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

                                             (2.17)

В результате двукратного интегрирования уравнения (2.17) имеем

                           (2.18)

где v_{0  ,} - постоянные интегрирования, соответствующие прогибу и углу поворота начального сечения балки.

Функция прогибов для балки с несколькими участками записывается в виде

          (2.19)

где a_k,, b_n– координаты точек приложения сосредоточенных моментовM_k  и сил P_n , _,  c_m  - координата начала приложения распределенной нагрузки q_m.

Функция угла поворота, согласно формуле (2.14), определяется дифференцированием функции прогибов и для балки с несколькими участками имеет вид

             (2.20)

Пример 1. Имеется однопролетная балка с консолью (рис.2.3). Требуется определить прогиб свободного края консоли (сечение А) и угол поворота опорного сечения В методом начальных параметров. В расчете принимается изгибная жесткость балки равная .

Вертикальные реакции опор  и  одинаковые и равны .

Рис.2.3

Правило знаков: положительным прогибам  соответствуют перемещения точек оси балки вертикально вниз; с учетом зависимости (2.14), положительному углу поворота соответствует поворот касательной, проведенной к оси балки в заданном сечении, по часовой стрелке.

Искомый прогиб определяется по формуле (2.19), в которой следует принять  (прогиб на шарнирной опоре равен нулю),

    ,    ,   

Неизвестный начальный угол поворота  определяется из граничного кинематического условия (кинематическое граничное условие – уравнение, составленное для определения перемещений любого сечения балки с известным значением прогиба или угла поворота);

при