Аналоговый, дискретный и цифровой сигналы. Основная функция сигнала. Аппроксимация в процессе синтеза рекурсивных дискретных фильтров, страница 4

1)при одинаковом требовании к АЧХ, отсутствии требований к ФЧХ и постоянной частоте дискретизации нерекурсивные фильтры требуют выполнения большего числа операций.

2)вариант на основе ДПФ м.б. использован для реализации как рекурсивного, так и нерекурсивного фильтра. Используется тогда, когда порядок фильтра очень большой. При большом порядке первые два способа приводят либо к сложным схемам, либо к длительным вычислениям. Преимущество метода на основе ДПФ сказывается при порядке 28-30.

Пример цифрового фильтра первого порядка.

   в этом уравнении чтобы фильтр был устойчив, нужно |k|<1. Решение этого уравнения:  ;       y_-1 – начальные условия, напряжение на выходе фильтра при n=0.

Для этого сигнала x_n решение будет: ; если |k|<1, то при n ®¥ получаем:

 ;

 

    

|H|=;

7. Предельная дискретизация сигналов с ограниченным спектром.

Наиболее завершенной предельной дискретизацией является дискретизация на основе теоремы Котельникова. В соответствии с этой теоремой мы можем восстановить сигнал по дискретным отсчетам по формуле:

; w_в- верхняя частота в спектре сигнала

Если сигнал конечной длительности, то можно взять только N = T/∆t отсчетов:

-погрешность

;   - общая погрешность

Это не корректная модель.

Всегда, когда делается дискретизация возникает вопрос восстановления. Восстановление на практике производится двумя способами: фильтрационным и интерполяционным.

Фильтрационный способ основан на теореме Котельникова.

. Фильтр с такой импульсной характеристикой должен иметь частотную характеристику в виде прямоугольника. Но реально это получить не возможно. Возникают ошибки.

В интерполяционном методе нужно сгенерировать N функций:

 и просуммировать. Важно правильно выбрать w_в.

Всегда, когда делают преобразование аналогового сигнала в цифровую форму, ставят фильтр.

В связи с этими особенностями восстановление по Котельникову на практике не используется. Основная ценность этой теоремы в том, что она доказывает принципиальную возможность восстановления сигнала. Она справедлива только для детерминированных сигналов. Для случайных процессов теорема справедлива в том случае, если спектр сигнала равномерен и ограничен.

На практике чаще всего используются интерполяционные многочлены. Наиболее распространенный многочлен Ла – Гранжа:

К – порядок многочлена; чем больше к, тем больше отсчетов используется для восстановления. Наиболее распространены интерполяции 0, 1 и 2 порядков.

;- приведенная погрешность

Для того, чтобы правильно выбрать частоту дискретизации в соответствии с формулами, необходимо:

-задается или определяется допустимая погрешность, определяется верхняя частота сигнала;

-по верхней частоте находят допустимый интервал дискретизации;

-выбирают вид интерполяции;

-рассчитывают требуемый шаг дискретизации.

8. Эффекты квантования в цифровых фильтрах. Постановка задачи. Ошибки, вызываемые неточными значениями постоянных параметров.

Эти эффекты возникают тогда, когда реальные цифровые фильтры имеют дискретные параметры и на них поступают квантованные отсчеты сигналов. Различают 3 эффекта:

1) введение квантованных коэффициентов фильтра приводит к нелинейным соотношениям. Эти соотношения трудно, а иногда невозможно решить точно.

2)квантование входных сигналов приводит к возникновению шума квантования. Этот шум проходит через фильтр и изменяет его характеристики.

3)квантование или округление результатов умножений. Влияние округления на фильтр зависит от того, как осуществляется округление и от конкретной реализации фильтра. Если ошибки округления не зависят друг от друга, то получаем модель, в которой к различным точкам цепи подключаются различные источники шума.

Ошибки, вызываемые неточными значениями коэффициентов фильтра.

y_n=k₁y_n-1+k₂y_n-2+x_n. Полюса этого уравнения комплексные.

;

Ошибки в определении коэффициентов приводят к ошибкам в определении полюсов. Произведение b∆t означает, что при одной и той же ошибке, уменьшение интервала дискретизации увеличивает погрешность определения резонансной частоты b. Требуются применение более высокой точности вычислений. Если ∆k₁ и ∆k₂ – малы и независимы, то

;