Аналоговый, дискретный и цифровой сигналы. Основная функция сигнала. Аппроксимация в процессе синтеза рекурсивных дискретных фильтров, страница 10

25. Дискретные функции Уолша. Свойства дискретных функций Уолша.

Для цифровых методов спектрального анализа и обработки сигналов наибольший интерес представляют дискретные ФУ. Эти функции являются отсчетами непрерывных ФУ. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной ФУ. Если всего N элементов, то длительность будет 1/N.

m_k – к-ый разряд номера отсчета ФУ,  W_i=0,1, m_k=0,1

Другой формой представления ФУ является матрица Адамара. Номера строк этой матрицы соответствуют номерам функций, а номера столбцов – номерам отсчетов.

Свойства дискретных ФУ:

1) ортогональность

     , где N – норма этих функций

2) мультипликативность

3) ортогональность позволяет использовать их для разложения в ортогональном базисе.

x(t) – сигнал, x_k – отсчеты, N

- прямое и обратное преобразование Уолша

Эти преобразование обладают свойством периодичности S_n=S_n+mN,  m=0,1,2…

4) связано с теоремой запаздывания:

26. Цели и классификация методов цифрового спектрального анализа.

Основной целью спектрального анализа является оценивание спектральной плотности мощности (СПМ) процесса и обнаружение факта присутствия в течение определенного интервала времени периодического сигнала (процесса) и оценка параметров этого сигнала (амплитуды, фазы, частоты). Обработка сигнала производится последовательно во времени, но при этом одновременно обрабатывается массив из N отсчетов.

Т_н=N∆t; Т_н – интервал наблюдения, ∆t – длина реализации.

Можно выделить 2 группы методов цифрового спектрального анализа:

1) методы, которые в той или иной форме реализуют Фурье анализ дискрет-го процесса.

2)методы, в которых априорно выбирается линейная модель, представляющая собой дискретный фильтр, и определяются параметры этой модели, которые обеспечивают на выходе фильтра процесс максимально близкий к исходному (который анализируется). Тогда по параметрам этой модели можно получить все интересующие сведения.

К первой группе методов относятся корреляционный метод (Блекмена-Тьюке), метод коррелограмм и метод периодограмм.

Ко второй группе относятся методы оценивания спектральной плотности мощности на основе авторегрессии скользящего среднего, метод Прони, метод Писаренко.

27.Линейные дискретные и цифровые фильтры. Краткие сведения о Z -преобразовании.

Дискретным фильтром называется устройство, которое реализует следующий алгоритм:

 , где x_n – n-ные отсчеты входного сигнала фильтра, которые следуют с интервалом ∆t; y_n – отсчеты выходного сигнала фильтра; a_j и b_i – коэффициенты фильтра. С математической точки зрения это выражение представляет собой разностное уравнение. Если a_j и b_i зависят только от текущего индекса, т.е. являются функциями времени, но не зависят от величин x и y, то фильтр называется линейным дискретным фильтром, а уравнение – линейным разностным уравнением. Если a_j и b_i просто постоянные числа, то фильтр называется инвариантным по времени.

Из уравнения видно, чтобы найти отсчеты выходного сигнала, надо выполнить 3 операции: задержку сигналов, умножение и суммирование. Все это, возможно, выполнить только в цифровом виде. Цифровое устройство, которое это реализует, называется цифровым фильтром. В цифровом фильтре входные и выходные сигналы являются цифровыми.

Существуют 2 класса цифровых фильтров: рекурсивные и нерекурсивные.

Если ни один из коэффициентов  a_j≠0, то фильтр рекурсивный. Если все a_j=0, то нерекурсивный. Рекурсивный фильтр – устройство с обратной связью и бесконечной импульсной характеристикой. Нерекурсивный фильтр – фильтр с конечной импульсной характеристикой.

Краткие сведения о Z-преобразовании.

Z-преобразование: , где Z – комплексное число, Z=e^jw∆t.

Свойства Z-преобразования:

1) линейность

f_n⁽¹⁾→F₁(Z)

f_n⁽²⁾→F₂(Z)  , то Z[a f_n⁽¹⁾+b f_n⁽²⁾]=a F₁(Z)+b F₂(Z)

2) преобразование удовлетворяет теореме сдвига

f_n⁽¹⁾;   f_n⁽²⁾=f_n-m⁽¹⁾

F₂(Z) =Z^-m F₁(Z);   F₁(Z)=Z[{f_n⁽¹⁾}] 

Существует обратное Z-преобразование, когда по известному Z-образу находится решетчатая функция f_n⁽¹⁾= Z^-1 [F₁(Z)].

F(Z)=f₀+f₁Z^-1+f₂Z^-2…..

28. Оценка спектра мощности методом периодограмм.

Рассмотрим преобразование Фурье оценки автокорреляции:

;