Задачи оптимального управления. Экстремумы функций. Принцип Лагранжа

Материалы лекций №№ 1.13. и 1.14.

Задачи оптимального управления.

******

Экстремумы функций. Принцип Лагранжа (Экстремумы функций одного переменного. Экстремумы функций многих переменных. Принцип Лагранжа.). Начала вариационного исчисления (Простейшая задача вариационного исчисления - задача Лагранжа). Прямые методы решения задач оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Оптимальное позиционное управление (динамическое программирование).

******

Задачи, рассматриваемые в математической теории оптимального управления, возникли из практических потребностей, прежде всего в области механики космических полетов и теории автоматического управления, примерно в 60-х годах прошлого столетия. Эти задачи иногда называют неклассическими задачами вариационного исчисления, подчеркивая тем самым преемственность идей и методов решения. Теоретические основы классического вариационного исчисления были заложены в XVIII веке Леонардом Эйлером и Жозефом Луи Лагранжем. Вариационное исчисление в свою очередь развилось из проблем, которые возникали при нахождении максимумов или минимумов функций.

Экстремальные задачи (задачи на максимум и минимум) пронизывают практически все области современного естествознания. «В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума» - писал Эйлер.

Надо сразу сказать, что решение всех задач, которые будут рассматриваться далее, основано на численных методах, причем, как правило, реализуемых на ЭВМ. Ручной счет не в состоянии справиться с тем огромным числом необходимых выкладок, которые требуют практические задачи. На основе математических методов, излагаемых ниже, разработаны и разрабатываются многочисленные стандартные программы и пакеты прикладных программ разнообразного назначения. Это весьма обширная область, которой посвящены многочисленные монографии, десятки учебников и множество журнальных статей.

1.13-14.1. Экстремумы функций. Принцип Лагранжа.

Начнем с простейшего случая - поиска экстремума функции одного переменного и, последовательно усложняя задачу, покажем, как трансформировались идеи ее решения на каждой стадии усложнения, приведя в конечном итоге к решению задач оптимального управления.

1.13-14.1.1. Экстремумы функций одного переменного.

Для формализованной задачи: найти максимум (минимум) функции f₀(х) при условии хÎ[а, b], будем употреблять запись

                                               (1.13-14.1)

где а и b могут принимать и бесконечные значения. Условие (1.13-14.1.) называют ограничением. Если х Î[-∞, +∞], то говорят, что задача (1.13-14.1.) не имеет ограничений (без ограничений).

Определение 1.13-14.1.1. Точка х называется абсолютным максимумом (или минимумом) задачи (1.13-14.1.), если

                                (1.13-14.2)

для любого х Î[-∞, +∞].

Определение 1.13-14.1.2. Точка х называется локальным максимумом (минимумом) в задаче (1.13-14.1.), если можно указать такое число ε>0, что для всех точек х Î[-∞, +∞], удовлетворяющих неравенству

                                                (1.13-14.3)

выполняется неравенство

                                   (1.13-14.4)

Различают точки строгого и нестрогого максимума (минимума) (как абсолютного, так и локального). В случае нестрогого максимума записи (1.13-14.2) и (1.13-14.3) остаются в силе. При строгом же максимуме (или минимуме) знак неравенства ≤ (≥) переходит в < (>). Очевидно, что при этом в условиях (1.13-14.2), (1.13-14.3) считается

Заметим, что не всякая задача (1.13-14.1.) имеет решение. Например, в задаче без ограничений f₀(x) = —1/(1 + х²) → max функция f₀(x) ≤ 0, и нет такой точки х, где f₀(x)=0. С другой стороны, если взять точки х_n = n (n = 1, 2,...), то f₀→0 для всех х. Отсюда следует, что максимума в данной задаче не существует, т. е. нельзя указать такую точку , что  для всех х.

Однако существует теорема Вейерштрасса (доказательство этой теоремы и других, упоминаемых в этой лекции можно найти в любом учебнике по математике), которая дает в огромном числе случаев гарантию существования решения.

Теорема Вейерштрасса. Пусть f₀(x) — непрерывная функция на конечном отрезке [а, b]. Тогда решение задачи (1.13-14.1.)существует.

Следствием этой теоремы является утверждение:

пусть f₀(x) непрерывна на всей прямой. Тогда если выполняется

                                   (1.13-14.5)

то решение задачи без ограничений

                                                      (1.13-14.6)

существует.

Для отыскания решения задачи (1.13-14.1.) будем использовать прием, впервые примененный Ферма в 1629 г., но опубликованный спустя полстолетия.

Теорема Ферма. Пусть функция f₀(x) является дифференцируемой в точке . Тогда, если точка  доставляет локальный экстремум (минимум или максимум) этой функции, то

                                                 (1.13-14.7)

существует.

Точки, для которых выполняется условие (1.13-14.7), называются стационарными. Стационарные точки совместно с концевыми точками называются критическими.

Соотношение (1.13-14.7) является лишь необходимым условием экстремума. Так, для функции точка  является стационарной, но никакого локального экстремума не дает.