Задачи оптимального управления. Экстремумы функций. Принцип Лагранжа, страница 2

Теорема Вейерштрасса и теорема Ферма позволяют сделать следующее утверждение: если функция f₀(x) непрерывна на конечном отрезке [а, b] и дифференцируема во внутренних точках х, а< х <b, то решение задачи (1.13-14.1.) находится среди критических точек.

Таким образом, правило поиска решения одномерных задач типа (1.13-14.1.) следующее:

Ø найти стационарные точки функции f₀(x) и значения функции в них;

Ø путем перебора всех критических значений функции f₀ выбрать максимальное (минимальное) значение среди них.

1.13-14.1.2. Экстремумы функций многих переменных. Принцип Лагранжа.

Пусть f₀, f₁, ..., f_m - функции n переменных X = (x₁, х₂, ..., х_n) или, что то же самое, функции вектора X. Рассмотрим задачу

                                         (1.13-14.8)

с ограничениями типа равенств

                            (1.13-14.9)

Обозначим через С совокупность допустимых точек в задаче (1.13-14.8), определяемую условиями (1.13-14.9). Множество С называется ограниченным, если существует константа А>0 такая, что для любой точки X = (x₁, х₂, ..., х_n) из С выполняется

                       (1.13-14.10)

Теперь обобщим положения п. 1.13-14.1.1.

Определение 1.13-14.1.3. (Аналог определения 1.13-14.1.1.). Точка X = (x₁, х₂, ..., х_n) называется абсолютным максимумом (минимумом) в задаче (1.13-14.8)-(1.13-14.9), если для любого ХÎС выполняется

                           (1.13-14.11)

Определение 1.13-14.1.4. (Аналог определения 1.13-14.1.2).

Точка Х° = (х°₁, х°₂, ..., х°_n) называется локальным максимумом (минимумом) в задаче (1.13-14.8)-(1.13-14.9), если можно указать такое число ε>0, что для всех точек XÎС, удовлетворяющих неравенству

                           (1.13-14.12)

выполнено неравенство

                             (1.13-14.13)

Обобщение теоремы Вейерштрасса. Пусть в задаче (1.13-14.8.)-(1.13-14.9.) функции f₀, f₁, ..., f_m непрерывны, а множество допустимых точек ограничено. Тогда решение задачи (1.13-14.8.)-(1.13-14.9.) существует.

Следствие. Пусть функция f₀(х) непрерывна для любого X = (x₁, х₂, ..., х_n). Тогда если

то решение задачи без ограничений f₀(х)→min существует.

Обобщение теоремы Ферма. Пусть в точке Х° существуют все частные производные f₀. Если точка Х° доставляет локальный экстремум этой функции, то

                                 (1.13-14.14)

Часто для сокращения записи используют значок  или grad (градиент). Таким образом, (1.13-14.14.) эквивалентно

                           (1.13-14.14.а.)

или

                      (1.13-14.14.б.)

Точки, для которых все частные производные равны нулю, называются стационарными. Очевидно, что условия (1.13-14.14.), как и ранее условие (1.13-14.7), являются необходимыми, но не достаточными.

Дадим теперь рецепт решения задачи (1.13-14.8.)-(1.13-14.9.) (принцип Лагранжа), сформулированный Жозефом Луи Лагранжем:

«Можно высказать следующий принцип. Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных при условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одним или несколькими уравнениями, нужно прибавить к функции, экстремум которой мы ищем, функции, задающие уравнение связи, умноженные на неопределенные множители, и искать затем максимум или минимум построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных».

Следуя этому рецепту, проделаем соответствующие математические выкладки. Составим сумму

                             (1.13-14.15)

где X = (x₁, х₂, ..., х_n), Λ = (λ₀, λ ₁, λ ₂, ..., λ _m). Функцию L(X, Λ) называют функцией Лагранжа, а числа (λ₀, λ ₁, λ ₂, ..., λ _m) называются множителями Лагранжа. Далее в соответствии с принципом Лагранжа получаем уравнения

                             (1.13-14.16)

дополненные уравнениями связи